FINCION EXPONENCIAL EJERCICIOS

FUNCION EXPONENCIAL.

Trazar la función y=a-x

Como a>1, esto implica que 0<1 / a<1, de modo que f(x)=a-x=1/ax= (1/a) x es una función exponencial con base menor que 1 por tanto tiene una gráfica similar a la de la función exponencial y=(1/2)x se construye la siguiente tabla de valores y=a-x para cierto valores de x.

X Y

-3 20.09

-2 7.39

-1 2.72

0 1

1 0.37

2 0.14

3 0.05

Función Exponencial ax donde a pertenece a los R+

El valor de reventa de cierto equipo es de $ f(t) , t en anos después de su compra, donde:

f(t)=1200+8000e-0.25t

¿Cuál es el valor del equipo en el momento de la compra?

¿Cuál es el valor del equipo 10 anos después de la compra?

Solución

Sea:

t: tiempo, en anos

f(x): valor del equipo, en función de t; en dólares

a. f(0)=1200+8000e^(-0.25(0))

f(0)=1200+8000e^0=1200+8000×1

f(0)=9200

El equipo costo 9200 dólares

b. f(10)=1200+8000e^(-0.25(10) )

f(10)=1200+8000e^(-2.5)

f(10)=1200+8000×0,082=1200+656

f(10)=1856

Al cabo de 10 anos el equipo tendrá un valor aproximado de 1856 dólares

x 0 5 10 15

y 9200 3440 1856 1384

FUNCIONES EXPONENCIALES

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2x

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b> 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0< b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

EJERCICIO.

Hacer la gráfica de la función exponencial f(x) = 2x

Tabulando para algunos valores cercanos a cero, por ejemplo en el intervalo comprendido entre [-3, 3].

x y

3 2-3 = 0.125

-2 2-2 = 0.25

-1 2-1 = 0.5

0 20 = 1

1 21 = 2

3 32 = 9

Graficando la función exponencial y = 2x:

el dominio es el conjunto de los números reales: Df = R

el rango es el conjunto de los números reales positivos: Rf = (0,

el eje de las abscisas (eje X) es asíntota horizontal de la gráfica.

la gráfica pasa por el punto (0, 1).

FUNCION EXPONENCIAL

-ENUNCIADO:

Una persona deposita 1200 dolares en régimen de interés compuesta a una taza de interés del 2% mensual durante 1 año y 3 meses.

-Preguntas:

¿averiguar el capital final obtenido?

-Analisis y procedimiento:

C(i)= 1200 dolares

Ti= 2% mensual

todos los porcentajes de crecimiento y disminución de una determinada cantidad lo vamos a pasar a fracción unitaria 2/100 = 0.02 mensual

Cf=??

T= 1 año y 3 meses = 15 meses

Lo convertimos todos en meses por que la taza es mensual siempre la taza y el tiempo tiene que estar en la misma unidad

Ahora aremos una tabla de valores para mostrar el comportamiento del capital

Podríamos llegar hasta el mes 15 y conseguir la respuesta pero es mas comodo siempre buscar una formula que respresenta la situación.

La formula es una función exponencial:

Cf= Ci * (1 + i) elevado al tiempo

Y = Cf X= t

Cf= 1200 * (1+ 0.02) t

Cf=1200 * 1.02 t

-Respuesta:

Cf= 1200 * 1.02 elevado 15 = 1615,04 y este seria el capital obtenido al mes 15

Y la ganacia seria

Int= 1615,04 – 1200= 415.04 centavos

FUNCION EXPONENCIAL

Notación matemática:f( x ) = ax

Enunciado: una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés del 12% anualmente.

Función:A (t)= Pert

Notas especiales: hay que tener en cuenta las variaciones que se tiene en el año la tasa de interés

A (t)= cantidad después de t años

p: principal

r : taza de interés por año

t: número de años

Preguntas: calcula la cantidad después de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de interés del 12% por año capitalizado de forma continua

Análisis

p: 1000

r: 0.12

t:3

Procedimiento:

A (t)= Pert

A(3)=1000e(0.12)3

A (3)=1000e 0.36

Respuesta: A(t) = 1433.33

Función: Exponencial

“Préstamo Bancario”

Enunciado:

Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4000 durante 3 años a una tasa de interés del 10% que se capitalizan al finalizar cada año. Ayudemos a Javier a calcular el monto que va a pagar en la fecha de vencimiento.

Análisis:

Identificamos los datos del problema:

C = S/. 4000

t = 3 años.

Tasa = 10%

Por condición del problema, la capitalización es anual, esto significa que anualmente los intereses se acumulan al capital.

Como

M – C + I M – C + C.r.t M – C (1 + r.t)

Calculemos los montos después de cada año, es decir: M1; M2; M3.

Como la capitalización es anual t = 1, luego utilizaremos la formula M = C (1 + r.t).

Reemplazando los datos obtenemos:

Primer año: M1 = 4000 (1 + 0.1(1)) M1 = 4000 (1,1) M1 = 4400

Segundo año: M2 = M1 ( 1 + 0.1(1)) M2 = 4400 (1,1) M2 =

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