Los siete puentes de Königsberg

1. Grafo

Para otros usos de este término, véase Grafo (desambiguación).

Para la teoría en torno a este objeto matemático, véase Teoría de grafos.

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Grafo etiquetado con 6 vértices y 7 aristas.

En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.1​ Son objeto de estudio de la teoría de grafos.

Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).

Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).

Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales.

1. Índice

• 1 Historia y problema de los puentes de Königsberg 
• 2 Definiciones 

• 2.1 Grafo no dirigido 
• 2.2 Grafo dirigido 
• 2.3 Variantes sobre las definiciones principales 

• 3 Propiedades 
• 4 Representación 
• 5 Ejemplos 
• 6 Grafos particulares 
• 7 Referencias 
• 8 Véase también 
• 9 Enlaces externos 

1. Historia y problema de los puentes de Königsberg

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Los siete puentes de Königsberg.

El primer artículo científico relativo a grafos fue escrito por el matemático suizo Leonhard Euler en 1736. Euler se basó en su artículo en el problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Kaliningrado, originalmente Königsberg, es famosa por sus siete puentes que unen ambas márgenes del río Pregel con dos de sus islas. Dos de los puentes unen la isla mayor con la margen oriental y otros dos con la margen occidental. La isla menor está conectada a cada margen por un puente y el séptimo puente une ambas islas. El problema planteaba lo siguiente: ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo solo una vez cada uno y regresando al mismo punto de partida?

Abstrayendo este problema y planteándolo con la (entonces aún básica) teoría de grafos, Euler consigue demostrar que el grafo asociado al esquema de puentes de Königsberg no tiene solución, es decir, no es posible regresar al vértice de partida sin pasar por alguna arista dos veces.

De hecho, Euler resuelve el problema más general: ¿qué condiciones debe satisfacer un grafo para garantizar que se puede regresar al vértice de partida sin pasar por la misma arista más de una vez? Si definimos como «grado» al número de líneas que se encuentran en un punto de un grafo, entonces la respuesta al problema es que los puentes de un pueblo se pueden atravesar exactamente una vez si, salvo a lo sumo dos, todos los puntos tienen un grado par.

1. Definiciones

Un grafo  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" G  es un par ordenado  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" G = ( V , E ) , donde:

•  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" V  es un conjunto de vértices o nodos, y
•  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" E  es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Normalmente  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" V  suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.

Se llama orden del grafo  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" G  a su número de vértices,  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" class="MJX-TeXAtom-ORD" stretchy="false"| V  stretchy="false"| .

El grado de un vértice o nodo  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" v ∈ V  es igual al número de arcos que lo tienen como extremo.

Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

Dos o más aristas son paralelas si relacionan el mismo par de vértices.

1. Grafo no dirigido

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Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo  class="MJX-TeXAtom-ORD" displaystyle="true" scriptlevel="0" G = ( V , E )  donde:

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