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Método de Coulomb.

Esta teoría es muy anterior a las restantes teorías de plasticidad. Se basa en suponer que al moverse el muro bajo la acción del empuje de las tierras, se produce el deslizamiento de una cuña de terreno limitada por el trasdós y por un plano que pasa por el pie del muro.

Se supone que el drenaje del muro funciona bien y que no hay presiones intersticiales en el terreno. Para calcular el empuje se supone un plano de deslizamiento arbitrario AC. La cuña BAC estará en equilibrio bajo la acción del peso que gravita sobre ella, W, del empuje del trasdós sobre el terreno, E, y de la reacción de la masa de suelo sobre la cuña, F. La reacción, F, forma un ángulo φ' con la normal a AC.

Como se conoce W en magnitud y dirección, y E y F en dirección, se puede hallar su valor mediante la construcción de un polígono de fuerzas.

El método de Coulomb consiste en tantear diversos planos AC y hallar los empujes correspondientes. El máximo empuje hallado de este modo es el empuje activo de Coulomb.

La inclinación real de F será menor o igual que φ', luego el empuje real será igual o superior que el hallado en la figura. Esto será cierto para cualquier posición de AC, por lo que el método de Coulomb obtiene un empuje menor al real, siempre que el valor de φ' empleado corresponda a la envolvente de Mohr en deformación plana.

• Método de Culmann.

La construcción de polígono de fuerzas queda simplificada mediante el artificio de girar todas las fuerzas un ángulo en sentido horario.

Con esta rotación los pesos quedan situados sobre la línea de talud natural o sea, formando un ángulo φ' con la horizontal. Las reacciones, F, quedan situadas sobre los planos de rotura escogidos. Los empujes, por último, quedan paralelos a una recta que forma el ángulo (φ' + δ) con el trasdós, y definen una curva cuyo máximo es el empuje activo de Coulomb.

• Empuje activo de Coulomb en el caso de trasdós plano y superficie libre plana exenta de sobrecarga.

En tal caso el máximo se puede hallar matemáticamente y viene dado, por unidad de longitud de muro, por la expresión:

En la que el empuje activo vale:

Cuando α = 0 y δ = β el empuje de Coulomb coincide exactamente con el de Rankine.

Descomponiendo el empuje en sus componentes horizontal y vertical se tiene que:

Siendo:

Kah = Ka • cos (α + δ) Ka = Kah • tg (α + δ)

Algunos valores del coeficiente Kah figuran en la tabla 10.3.

• Distribución del empuje.

Para hallar la distribución se supone que la teoría de Coulomb es aplicable a la obtención del empuje sobre cualquier trozo de muro correspondiente a la profundidad z. De esta manera se puede hallar Ea en función de z.

La es el empuje unitario por unidad de longitud medida según la vertical. La aplicación de este método al caso anterior dará:

El empuje unitario será:

ea = Ka • γ • z

Esta expresión indica que los empujes aumentan linealmente con la profundidad.

Un método aproximado para hallar la posición de la resultante del empuje en un caso general es el siguiente:

• Hallar el centro de gravedad de las masas situadas dentro de la cuña que da el máximo empuje.

• Trazar una paralela al plano de deslizamiento hasta cortar al trasdós. El punto correspondiente será el de aplicación de la resultante.

• Trasdós quebrado.

En este caso se comienza por calcular el empuje activo de Coulomb, Ea1, sobre AB.

A continuación se componen Ea1 y el peso, W, que gravita sobre la cuña ABCD. Como se conoce la dirección de las dos fuerzas que restan, reacción sobre CD y empuje sobre BD, se puede calcular este último, E2. El máximo de E2 para diversas posiciones de CD dará el empuje activo sobre BC.

• Sobrecargas.

El método de Coulomb tiene en cuenta la existencia de sobrecargas siempre que éstas sean indefinidas en el sentido longitudinal del muro.

Si se trata de una sobrecarga uniforme, q, el peso que gravita sobre la cuña ABC será:

Si ahora se supone un relleno de peso específico ficticio, γ2, sin sobrecarga, el peso de la cuña correspondiente será:

Si W1 = W2 se tiene:

En tal caso, los empujes serán iguales y valdrán:

El empuje por unidad de longitud medida según la vertical será:

Así pues, una sobre carga uniforme da lugar a un empuje constante sin que se altere la posición de deslizamiento.

En el caso de β = 0, se tiene:

Ejemplo

Calcular las leyes de presiones y empujes.

Lo primero es calcular el valor de Ka correspondiente a cada capa:

Conocidos los valores de Ka se pueden hallar las leyes de presiones y empujes:

PRESIONES

1 → σ1 = 1 T/m2

2 → σ2 = σ1 + γ1 • z = 1 + 2 • 1 = 3 T/m2

3 → σ3 = σ2 + γ2 • z = 3 + 2 • 9 = 21 T/m2 EMPUJES

1 → E1 = σ1 • Ka1 = 1 • 0.417 = 0.417 T/m2

2 → E2 = σ2 • Ka1 = 3 • 0.417 = 1.251 T/m2

2 → E2 = σ2 • Ka2 = 3 • 0.300 = 0.900 T/m2

3 → E3 = σ3 • Ka2 = 21 • 0.300 = 6.300 T/m2

Las correspondientes leyes serán:

Descomponiendo la ley de empujes en figuras simples se pueden obtener los empujes actuantes y su punto de aplicación en función de los centros de gravedad:

E1 = 0.417 • 1 = 0.417 T/m

E2 = 0.5 • (1.251 - 0.900) • 1 = 0.1755 T/m

E3 = 0.900 • 9 = 8.1 T/m

E4 = 0.5 • (6.300 - 0.900) • 9 = 24.3 T/m

Los puntos de aplicación serían:

Z1 = 9.500 m

Z2 = 9.333 m

Z3 = 4.500 m

Z4 = 3.000 m

En el caso de considerar un nivel freático a una profundidad de - 1 m, habría que considerar el empuje correspondiente al agua, así como la variación de las presiones verticales:

PRESIONES

1 → σ1 = 1 T/m2

2 → σ2 = σ1 + γ1 • z = 1 + 2 • 1 = 3 T/m2

3 → σ3 = σ2 + γsat2 • z = 3 + 2 • 9 = 21 T/m2

3 → σ'3 = σ3 - 9 = 12 T/m2 EMPUJES

1 → E1 = σ1 • Ka1 = 1 • 0.417 = 0.417 T/m2

2 → E2 = σ2 • Ka1 = 3 • 0.417 = 1.251 T/m2

2 → E2 = σ2 • Ka2 = 3 • 0.300 = 0.900 T/m2

3 → E3 = σ3 • Ka2 = 21 • 0.300 = 6.300 T/m2

E1 = 0.417 • 1 = 0.417 T/m

E2 = 0.5 • (1.251 - 0.900) • 1 = 0.1755 T/m

E'3 = 0.900 • 9 = 8.1 T/m

E'4 = 0.5 • (6.300 - 0.900) • 9 = 24.3 T/m

Los puntos de aplicación serían:

Z1 = 9.500 m

Z2 = 9.333 m

Z3 = 4.500 m

Z4 = 3.000 m

Zw = 3.000 m

• Empujes sobre muros en L.

Los muros aligerados en L

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