Modelo SEIR

Modelo SEIR

Un modelo SEIR es un modelo matemático que combina la ley de los números grandes y las Ecuaciones diferenciales. Se sustenta en que es posible determinar el comportamiento promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta el número de ensayos.

Supuestos del modelo:

Este modelo, como cualquier otro, tiene en su formulación varios supuestos:

• La población permanece constante en el tiempo.

Debe cumplirse para cualquier momento  que:[pic 1]

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Esto es, que la suma de las personas sanas, expuestas, infectadas y recuperadas es constante en el tiempo.

• Una persona recuperada no puede contagiarse de nuevo.

Este supuesto resulta particularmente importante debido a que establece una relación unidireccional entre las variables, tal que el diagrama de flujo resulta en:

[pic 3]

• El brote inicia de una única fuente.

Debe tenerse en cuenta que el modelo contempla un único infectado en el tiempo  y que cualquier caso que se rastree tiene su origen en él. No obstante, se sabe que durante los primeros días del COVID-19 había una buena proporción de casos importados[pic 4]

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Categorías:

El universo se divide en cuatro grupos, a saber:

Sanos, :[pic 6]

Quienes son las personas susceptibles de ser contagiadas. En el momento inicial  corresponde al 100% de la población a analizar. En el caso de Colombia, y de acuerdo con el censo realizado en el 2017, este valor corresponde a 49.070.000 personas. Por tanto:[pic 7]

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Expuestos, [pic 9]

Es la cantidad de personas que han sido contagiadas pero que aún no presentan síntomas. Es importante aclarar que este grupo de personas no transmiten el virus, sin embargo, para efectos del modelo, establecen una ventana temporal útil para representar el impacto de la cuarentena. El valor inicial debe calibrarse con los datos, pues el día 0 del brote inició con el primer caso reportado del virus, no obstante, cabe la posibilidad de haber infectado a varias personas antes de su detección.

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Infectados, [pic 11]

Representa la cantidad de personas capaces de contagiar. El valor inicial corresponde a un único caso. El análisis del pico y duración de la enfermedad se realiza con base al comportamiento en función del tiempo de esta curva. En Colombia se reportó el primer caso de COVID-19 el 6 de marzo del 2020.

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Recuperados, [pic 13]

Las personas recuperadas son aquellas quienes han superado el periodo de la infección. En condiciones ideales se cumple que:

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Parámetros

Un modelo SEIR se sustenta sobre 4 parámetros principales:

 
Que simboliza la cantidad de personas que puede contagiar un infectado durante el periodo de tiempo que tiene la enfermedad. En el caso del COVID-19, se supone que sólo se puede contagiar una vez se presentan síntomas, esto es, que durante la etapa de incubación no se puede transmitir el virus.[pic 15]

 
Representa la cantidad promedio de días en que un infectado presenta síntomas desde su contagio. El valor más frecuente en el caso del COVID-19 es de 5 días, sin embargo, este parámetro se puede complejizar metiéndole una distribución de probabilidad (normal, Gumbell, Pearson, log-normal, log-Pearson tipo III…) con el fin de simular mejor la realidad. Diversos estudios han establecido un rango entre 2 y 15 días, aunque se han encontrado casos hasta de 24 días y uno de 27.[pic 16]

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Muestra el tiempo en días que un infectado posee la enfermedad. Este parámetro también se puede complejizar mediante el uso de distribuciones de probabilidad. Diversos artículos estiman este parámetro en 5 días, sin embargo, no se discrimina entre casos leves, moderados y graves.

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Es la tasa de contagio. El concepto de este valor es la cantidad de contagios que puede generar un infectado durante cada día que presente síntomas. Por definición: [pic 19]

Ecuaciones:

El modelo se constituye a partir de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias:

Variación de la población sana:

Esta ecuación representa el cambio respecto al tiempo de la población sana:

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Puede observarse por simple inspección que el término  representa la proporción de infectados respecto a la población inicial, este valor es menor a uno y varía con el tiempo. También se hace presente el parámetro , que como se mencionó anteriormente representa la tasa de contagio. Al multiplicar ambos términos se obtiene un factor multiplicador de la población sana que pasa a ser infectada. Al inicio de la curva, cuando la relación  es baja. los contagios también lo son. [pic 21][pic 22][pic 23]

Una manera para reducir los contagios es tener un valor de  bajo. Recordando que , es posible disminuir la tasa de contagio si se reduce el numero de personas que in infectado puede contagiar, es decir, disminuyendo . Es en ese parámetro dónde reposan la mayoría de las medidas sanitarias que buscan reducir el contagio. El valor de  es relativamente fijo, depende de la enfermedad.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

El signo negativo representa que la población disminuye, pues se transfiere a otra categoría.

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