Aplicación del modelo seir en la propagación del coronavirus en Apurímac desde el 02 de abril hasta el 30 de abril del 2020

APLICACIÓN DEL MODELO SEIR EN LA PROPAGACIÓN DEL CORONAVIRUS EN APURÍMAC DESDE EL 02 DE ABRIL HASTA EL 30 DE ABRIL DEL 2020

INTRODUCCIÓN

La pandemia de COVID-19, es una pandemia causada por el virus SARS-CoV-2, su primer caso se identificó en diciembre del 2019, en la ciudad de Wuhan, China, donde se reportaron casos de al parecer neumonía. Posteriormente a esto, el virus se fue esparciendo por todo el mundo, llegó a Perú en marzo de 2020, y luego, el primer caso registrado en la región de Apurímac se dio el 02 de abril de 2020.

Este presento trabajo de investigación tiene como objetivo, conocer la propagación del COVID-19 a través del modelo SEIR, en el cual se intenta encontrar la cantidad de contagiados, recuperados, y propensos al virus, en este sentido, se está analizando la población de Apurímac en los primeros diez días de propagación. Del mismo modo, se busca realizar una comparativa de los datos reales, y los resultados que se obtienen del modelo matemático.

El trabajo está enfocado en el modelo matemático de epidemiologia SEIR, en el cual se describe la situación epidemiologia en tres grandes grupos que están relacionados entre sí, los cuales son susceptibles, infectados que no transmiten la enfermedad, infectados y recuperados, lo curioso o importante de este modelo respecto a otros, es que adecua completamente al modo de contagio del COVID 19, sin embargo, no considera el tiempo de incubación (es decir, el momento en el que un individuo no puede contagiar el virus).

El porqué de la elección del tema, radica en que el COVID-19 es un problema que nos afectó a todos, por lo que me causó mucha intriga conocer formas matemáticas de predecir comportamientos de estos tipos, del mismo modo, quería saber si realmente estos modelos matemáticos son efecticos, del mismo modo, siempre tuve mucha curiosidad de cómo funciona las matemáticas en procesos sociales como la propagación de un virus.

El trabajo presente consiste de una estructura los cuales están compuestos de 3 partes. En la parte 1, se desarrolla el marco teórico, donde se buscan entender y demostrar diversos conceptos teóricos del tema a tratar, que nos serán de gran utilidad posteriormente. En este sentido, se están abordando los siguientes conceptos, derivadas, reglas de derivación importantes, antiderivadas, teorema fundamental de cálculo, ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales de primer orden, modelo SEIR, y teorema del umbral en epidemiologia. En la parte 2, está enfocado en el desarrollo de la investigación como tal, en este sentido se desarrollan las ecuaciones diferenciales, con los métodos del marco teórico, para posteriormente tener los resultados y generar un análisis de ello. En la parte 3, se enfoca en las conclusiones de toda la investigación.

MARCO TEÓRICO

1. DERIVADAS

Según Pérez, la definición de la derivada es una función que puede interpretarse geométricamente como una pendiente de curva, y físicamente como una razón instantánea de cambio. Es decir, que se puede definir como la pendiente de un punto específico en una función. La cual es define con la siguiente ecuación.

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Donde:

F(x)= Es la función

F(a)= El punto que se quiere encontrar, evaluado en la función.

A= El punto que se quiere encontrar.

1.1.1 REGLAS DE DERIVACIÓN IMPORTANTES

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1. ANTIDERIVADA

Según Stewart (2018), Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, se puede definir de la siguiente manera. Donde c es una constante arbitraria.

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1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Según Bayod (2012).

El teorema fundamental del cálculo es el resultado que asegura que las operaciones de derivar y de integrar son recíprocas. Se trata por tanto de un resultado doble: si primero integramos y después derivamos, o si primero derivamos y después integramos, en ambos supuestos se obtiene la función original.

En este sentido, se pueden relacionar ambos de la siguiente manera. Si f en (a,b) es una función continua, entonces para todo x que pertenece a (a,b), se tiene.

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1. ECUACIONES DIFERENCIALES

Según Juan M. (2000), afirma que una ecuación diferencial, necesita de derivadas, que dependan de una sola variable para poder ser llamadas de esta manera. Un ejemplo de esto, puede ser el siguiente.

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Puesto que se toma derivadas respecto a x, afirmamos que x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente. Donde el objetivo, es hallar la función y. (p, 1)

1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Según Eugenia P. una ecuación diferencial de primer orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función con su derivada. Es decir, una expresión del tipo:

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Donde F es una función dependiente de tres variables definida en un dominio ,  es la función incógnita, su derivada, y  la variable independiente. Es importante mencionar, que no es necesario que todos los elementos anteriormente mencionados, deben ser partícipes de dicha ecuación (excepto el de grado mayor, ).[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

1. MODELO SEIR

El modelo SEIR es un modelo epidemiologia derivado del modelo SIR, donde se predice el comportamiento de una situación epidémica de cuatro diferentes maneras de comportamiento, los cuales evolucionan a través del tiempo. Estos parámetros son los siguientes:

•  Representa la cantidad de individuos susceptibles, individuos sanos que pueden pasar al parámetro de infectados  si tienen contacto con la enfermedad.[pic 14][pic 15]
•  Representa la cantidad de individuos infectados, pero que aún no transmiten la enfermedad, individuos que pasarán al parámetro de infectados [pic 16][pic 17]
•  Representa la cantidad de individuos infectados, individuos que están infectados, pero que al mismo que pueden contagiar al grupo de susceptibles [pic 18][pic 19]
•  Representa la cantidad de individuos recuperados, individuos que pasaron todo el proceso de infección, pero lo curioso es que también pueden enfermarse de nuevo, es decir que pueden pasar al grupo de susceptibles  [pic 20][pic 21]

Es importante considerar los siguientes postulados:

• El tamaño de la población es constante, y del tamaño igual a N.
• Lo población se considera cerrada, es decir, que no se toman en cuenta las inmigraciones y emigraciones.
• La tasa a la cual una enfermedad se propaga es proporcional al número de individuos susceptibles por el número de individuos infecciosos.

La suma de los cuatro grupos tiene que ser igual a la de población. Como se describe en la siguiente manera.

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1. FORMULACIÓN DEL MODELO

La forma en la que se relacionan los parámetros anteriormente mencionados, y derivados, es a través de las siguientes ecuaciones diferenciales:

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En estas ecuaciones, definiremos los parámetros de transmisión de grupos.

β es la tasa per cápita de contacto, es decir el parámetro que define la tasa de transmisión como la probabilidad, en la que el virus pase de un cuerpo a otro.

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