Se nos pide determinar la longitud de arco de la siguiente función: Desarrollo

Longitud de Arco

Se nos pide determinar la longitud de arco de la siguiente función:

[pic 1]

Por lo que el equipo se propuso a realizar una aproximación de la dicha curva con ayuda de la inscripción de triángulos rectángulos para de esta manera poder determinar su hipotenusa y encontrar una aproximación de lo ya comentado con anterioridad.

        La grafica de nuestra función es la siguiente:

[pic 2]

Gracias a nuestra grafica se puede observar que nuestra función se trata de una función par, sin embargo tenemos que demostrar que dicha función es par, por lo que se dice que una función es par solo si f(a)=f(-a) donde a es una constante y en este caso le daremos un valor igual a=2, sustituyendo obtenemos lo siguiente:

 f(a) =f(2)=  mientras que f(-a)= f(-2) =  y de esta manera ya podemos decir que f(a) = f(-a) demostrando que nuestra función es una función par, es decir es simétrica al eje y. Ahora que ya sabemos que es una función par, nos propusimos trabajar con cuatro triángulos rectángulos inscritos como se muestra en la gráfica de la derecha y para obtener una aproximación de la longitud de curva solo trabajaremos con el límite de 0 a 4 y al final multiplicaremos la longitud por 2 ya que la longitud de -4 a 0 es igual a la de 0 a 4 por lo ya antes comentado.[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 3][pic 4]

1. Debajo de la curva vamos a inscribir cuatro rectángulos con base “B” dada por:

[pic 11]

Donde b=4, a=0 y n que es el número de particiones es igual 4.

1. De esta manera:

1. El primer triangulo rectángulo va de: 0 a 1.
2. El segundo triangulo rectángulo va de: 1 a 2.
3. El tercer triangulo rectángulo va de: 2 a 3.
4. El cuarto triangulo rectángulo va de: 3 a 4.

Todos ellos con una base B = 1.

1. La altura “H” triángulo rectángulo está dada por la siguiente expresión:  

[pic 12]

1. De esta manera, recordando que  :[pic 13]

1. La altura del primer rectángulo es: f(1) - f(0) =  - = – [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
2. La altura del segundo rectángulo es: f(2) - f(1) =  - = – [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
3. La altura del tercer rectángulo es: f(3) - f(2) =  - = – [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
4. La altura del cuarto rectángulo es: f(4) - f(3) =  - = – [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Recordando que queremos encontrar la hipotenusa de cada triángulo rectángulo, nosotros queremos obtenerla hipotenusa de dichos rectángulos y si nos damos cuenta, en este punto del problema nosotros ya tenemos tanto la base como la altura. Así que por Pitágoras () podemos sacar las dichas hipotenusas.[pic 30]

• Donde la b es la base del triángulo rectángulo.
• Donde la a es la altura del triángulo rectángulo.

1. De esta manera recordado que b=1 y h son las alturas decimos que:

1. La hipotenusa del primer rectángulo es:  = 1.007[pic 31]
2. La hipotenusa del segundo rectángulo es:  = 1.043[pic 32]
3. La hipotenusa del tercer rectángulo es:  = 1.073[pic 33]
4. La hipotenusa del cuarto rectángulo es:  = 1.09[pic 34]

Y como podemos ver con esto tenemos todo lo que necesitamos para encontrar la aproximación de nuestra curva, pero veámoslo de mejor manera en la siguiente tabla con todos los datos encontrados:

1. Diciendo de esta manera que el valor aproximado de la longitud de arco que nos están pidiendo está dado por la suma de las hipotenusas de los cuatro triángulo multiplicado por 2 (ya que nuestra función es par) que es igual a:

L= 2(1.007 + 1.043 + 1.073 + 1.090) = 8.426

1. Comprobando con el programa MathCad:

[pic 35]

           =  8.458

Ahora que ya tenemos una aproximación de nuestra longitud de curva, siguiente el mismo proceso aumentaremos los triángulos para disminuir nuestro error y de esta manera tratar de acercarnos más a nuestro valor real por lo cual ahora vamos a inscribir 8 triángulos.

1. Debajo de la curva vamos a inscribir cuatro rectángulos con base “B” dada por:

[pic 36]

Donde b=4, a=0 y n que es el número de particiones es igual 8.

1. De esta manera:

1. El primer triangulo rectángulo va de: 0 a 0.5.
2. El segundo triangulo rectángulo va de: 0.5 a 1.
3. El tercer triangulo rectángulo va de: 1 a 1.5.
4. El cuarto triangulo rectángulo va de: 1.5 a 2.
5. El quinto triangulo rectángulo va de: 2 a 2.5.
6. El sexto triangulo rectángulo va de: 2.5 a 3.
7. El séptimo triangulo rectángulo va de: 3 a 3.5.
8. El octavo triangulo rectángulo va de: 3.5 a 4.

Todos ellos con una base B = 0.5.

1. La altura “H” triángulo rectángulo está dada por la siguiente expresión:  

[pic 37]

1. De esta manera, recordando que  :[pic 38]

1. La altura del primer rectángulo es: f() - f(0) =  - = [pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
2. La altura del segundo rectángulo es: f(1) - f() =  -  =[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]
3. La altura del tercer rectángulo es: f() - f(1) =  -  = [pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]
4. La altura del cuarto rectángulo es: f(2) - f() =  -  =[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
5. La altura del quinto rectángulo es: f() - f() =  -  = [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]
6. La altura del sexto rectángulo es: f(3) - f() =  -  = = [pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]
7. La altura del séptimo rectángulo es: f() - f(3) =  -  = [pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]
8. La altura del octavo rectángulo es: f(4) - f() =  -  = [pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

Recordando que queremos encontrar la hipotenusa de cada triángulo rectángulo, nosotros queremos obtenerla hipotenusa de dichos rectángulos y si nos damos cuenta, en este punto del problema nosotros ya tenemos tanto la base como la altura. Así que por Pitágoras () podemos sacar las dichas hipotenusas.[pic 72]

• Donde la b es la base del triángulo rectángulo.
• Donde la a es la altura del triángulo rectángulo.

1. De esta manera recordado que b=0.5 y h son las alturas decimos que:

1. La hipotenusa del primer rectángulo es:  = 0.501[pic 73]
2. La hipotenusa del segundo rectángulo es:  = 0.508[pic 74]
3. La hipotenusa del tercer rectángulo es:  = 0.517[pic 75]
4. La hipotenusa del cuarto rectángulo es:  = 0.526[pic 76]
5. La hipotenusa del quinto rectángulo es:  = 0.534[pic 77]
6. La hipotenusa del sexto rectángulo es:  = 0.539[pic 78]
7. La hipotenusa del séptimo rectángulo es:  = 0.543[pic 79]
8. La hipotenusa del octavo rectángulo es:  = 0.546[pic 80]

Y como podemos ver con esto tenemos todo lo que necesitamos para encontrar la aproximación de nuestra curva, pero veámoslo de mejor manera en la siguiente tabla con todos los datos encontrados:

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