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Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada. De este modo, los primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN.

Las Ecuaciones Diferenciales Lineales de segundo orden tienen la forma:

y′′ + f (x) y′ + g(x) y = r(x) (1). Donde los resultados que se obtengan se generalizan con facilidad a ecuaciones lineales de cualquier orden.

Es posible obtener en forma sencilla una solución general y(x) de (1), si se conoce una solución general yh(x) de la ecuación homogénea correspondiente.

Se tiene entonces que, y(x) se obtiene al sumar cualquier solución γ(x) de (1),que no contenga constantes arbitrarias, a yh(x), es decir,

Problemas que coinciden con ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ley de Hooke

La fuerza F de restitución, opuesta a la dirección del alargamiento s a la cual se encuentra sometido un resorte está dada por F=ks donde k es una constante de proporcionalidad que depende de cada resorte y s es la elongación.

Movimiento armónico simple

La fuerza neta F está dada por la segunda ley de Newton F = ma, donde

el signo negativo significa que la fuerza de restitución actúa en dirección opuesta

X”+(k/m)x=0

Ecuación del movimiento armónico

X”+w2x=0

LA LEY DE KIRCHHOFF

La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es

Cero. [Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la

Suma de las caídas de voltaje.]

Como un ejemplo, considere un circuito eléctrico consistente en una fuente de voltaje E

(Batería o generador), una resistencia R, y un inductor L, conectados en serie como se

Muestra en la figura:

Adoptamos la siguiente convención: la corriente fluye del lado positivo (+ ) de la batería o

Generador a través del circuito hacia el lado negativo (- ).

Puesto que, por la ley de Kirchhoff, la fem suministrada (E) es igual a la caída de voltaje a

Través del inductor (LdI/dt) más la caída de voltaje

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