Probabilida

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES.

AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL

PERIODO ACADEMICO: I-2011

PRUEBA DE HIPOTESIS

NOMBRE:

GRADO COD: FECHA

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.

Es el estudio de experimentos o fenómenos aleatorios o de libre determinación o de libre ocurrencia.

Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para un determinación de cómo serian sus resultados para ganar o perder.

La probabilidad de un evento A se define:

P(A) = (#A)/(#S)

ESPACIO MUESTRAL: Regularmente se representa con una letra mayúscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra diferente.

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o un fenómeno.

Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio muestral será:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EVENTO: Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenómeno a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral.

Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par, entonces los posibles resultados en que puede caer el dado serán: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento será:

A = { 2, 4, 6 }

La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos eventos:

A U B si y solo si A o B suceden o ambos.

A ∩ B si y solo si A Y B suceden simultáneamente.

Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente exclusivos, si son disyuntos, ósea que la intersección de los conjuntos sea vacía. A ∩ B = φ ( No pueden suceder simultáneamente )

Ejemplo No 1: Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } un espacio muestral, de las posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número impar. C = {2, 3, 5}

A ∩ B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto los eventos son mutuamente exclusivos.

Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.

P(A) = (#A)/(#S) = 3/6 = 0.5 o equivalente a un 50%

P(B) = (#B)/(#S) = 3/6 = 0.5 o equivalente a un 50%

P(A) = (#C)/(#S) = 3/6 = 0.5 o equivalente a un 50%

P(S) = (#S)/(#S) = 6/6 = 1 o equivalente a un 100%

P(C) = (#C)/(#S) = 3/6 = 0.5 o equivalente a un 50%

Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos anteriores A, B y C:

A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}

A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }

B ∩ C = { 3, 5 }

CC = { 1, 4, 6 }

Las probabilidades de los nuevos eventos serán:

P(AUB) = (#(AUB))/(#S) = 6/6 = 1 o equivalente a un 100%

P(AUC) = (#(AUC))/(#S) = 5/6 = 0.83 o equivalente a un 83%

P(B∩C) = (#C)/(#S) = 2/6 = 0.33 o equivalente a un 33%

P(Cc) = (#C^c)/(#S) = 3/6 = 0.5 o equivalente a un 50%

AXIOMAS DE PROBABILIDAD.

Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad del evento A. P(Cc) probabilidad del evento Cc. Se cumplen los siguientes axiomas:

P1 Para todo evento A, se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1

P2 P(S) = 1

P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple que P(AUB) = P(A) + P(B) .

Para el ejemplo No 1, observamos que:

0 ≤ P(A) ≤ 1. Observamos que el valor de cada una de las probabilidades es menor que 1 y mayor que 0.

P(S) = 1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio muestral S es 1.

P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P(A) = 0.5 P(B) = 0.5 y la probabilidad de P(AUB) = 1.0

TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.

Estos teoremas se deducen de los axiomas:

T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P(ϕ) = 0

T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(Ac) = 1 - P(A)

T3. Si A c B, entonces P(A) ≤ P(B)

T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(A∩B)

T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B)

EJEMPLO No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral de los resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.

La grafica del conjunto será: U

A B

0

1 3

6 2

4 5

8

9 7

Calculado:

A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }

A ∩ B = { 1, 2, 4 }

Ac = { 3, 5, 7, 9 }

Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 }

A – B = { 0, 6, 8 }

B – A = { 3, 5 }

Los cardinales de cada uno de los conjuntos:

#A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(A∩B) = 3, #(Ac) = 4, #(Bc) = 5

#(A-B) = 3 #(B-A) = 2.

Calculando las probabilidades.

P(A) = (#A)/(#S) = 6/10 = 3/5 = 0.6 equivalente en porcentaje 60%

P(B) = (#B)/(#S) = 5/10 = 1/2 = 0.5 equivalente en porcentaje 50%

P(AUB) = (#(AUB))/(#S) = 8/10 = 4/5 = 0.8 equivalente en porcentaje 80%

P(A∩B) = (#(A∩B))/(#S) = 3/10 = 0.30 equivalente en porcentaje 30%

P(A-B) = (#(A-B))/(#S) = 3/10 = 0.30 equivalente en porcentaje 30%

P(B-A) = (#(B-A))/(#S) = 2/10 = 0.20 equivalente en porcentaje 20%

P(AC) = (#(A^c))/(#S) = 4/10 = 0.40 equivalente en porcentaje 40%

P(B^c) = (#(B^c))/(#S) = 5/10 = 0.50 equivalente en porcentaje 50%

Si aplicamos los teoremas obtenemos:

T2. P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40

T2. P(BC) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50

T4. P(A-B) = P(A) - P(A∩B) = 0.60 - 0.30 = 0.30

T5. P(B-A) = P(B) - P(B∩A) = 0.50 - 0.30 = 0.20

T6. P (AUB) =

...