Act 10 Calculo Diferencial

lim = 0

θ → 0 θ

Al calcular las derivadas de cos ( x) y sin (x ) , dijo el profesor Jerison que

1 - cos θ lim = 0 . Esto es cierto , pero con el fin de estar seguro de que nuestra derivado θ → 0 θ

fórmulas son correctas debemos entender qué es la verdad.

Al igual que en la discusión sobre el pecado ( θ ) / θ , nuestra explicación consiste en mirar un dia

gramo del círculo unidad y la comparación de un arco con una longitud de θ a una línea recta

segmento . ( Recuerde que θ se mide en radianes ! ) Como se muestra en la Figura 1 , la

distancia vertical entre los puntos finales del arco es cos θ , y la horizontal

distancia entre los extremos del arco es 1 - cos θ .

1

cos θ

1 - cos θ

arco

longitud

= θ

θ

Figura 1 : La misma cifra para el pecado

x

x , excepto que la distancia horizontal entre los

el borde del triángulo y el perímetro del círculo está marcada

A partir de la figura . 2 podemos ver que a medida que θ → 0 , la distancia horizontal 1 - cos θ

entre los extremos del arco ( lo que el profesor Jerison llama " la brecha ") se hace mucho

menor que la longitud θ del arco . Por lo tanto ,

1 - cos θ 0 . θ →

Si usted encuentra difícil de creer que puede ser útil usar una calculadora para verificar

que si x es pequeño , 1 - cos x es mucho más pequeño . También podría estudiar la gráfica

de y = 1 - cos x cerca de x = 0 o utilizar una aplicación web para comparar la distancia

1 - cos θ a la longitud del arco θ para ángulos muy pequeños θ .

1

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