Algebra - Relaciones

1.3. RELACIONES.  

1.3.1. RELACIONES DE ORDEN.

Definicción: Si [pic 1]y [pic 2]son dos conjuntos no vacíos, una relación R definida entre [pic 3]y [pic 4] es cualquier subconjunto del producto cartesiano [pic 5], esto es:

[pic 6].

        Si [pic 7]es una relación entre [pic 8]y [pic 9], con [pic 10]y [pic 11], entonces [pic 12]esta en relación con [pic 13], si [pic 14]. Esto se escribe normalmente como:

[pic 15]

        y se dice que “ [pic 16]esta en relacionado con [pic 17]por la relación [pic 18]”.

Si [pic 19]es una relación entre [pic 20]y [pic 21], y sea [pic 22]; entonces puede suceder que el conjunto

[pic 23]

sea vacío o tenga varios elementos ; esto es, que [pic 24]no esté en relación con algún elemento de [pic 25], o que lo esté con más de uno.

Nota: observe que una aplicación (o función) es una relación.

Sea [pic 26]una relación sobre [pic 27], esto es, [pic 28]; sea [pic 29]. Se llamará restricción de R a [pic 30], a la relación sobre [pic 31]que se representa por [pic 32], definida por:

[pic 33].

De otra forma, si [pic 34],

[pic 35].

Definición: Sea [pic 36]una relación del conjunto [pic 37]en si mismo; entonces:

1. [pic 38]es reflexiva [pic 39]
2. [pic 40]es simétrica[pic 41]
3. [pic 42]es antisimetrica [pic 43]
4. [pic 44]es transitiva [pic 45]

Si  [pic 46]es una relación sobre [pic 47]que cumple alguna de las propiedades (reflexiva, simétrica, antisimétrica ,transitiva) anteriores y [pic 48]es la restricción de [pic 49]a algún subconjunto de [pic 50]de [pic 51], la restricción [pic 52]cumple también dicha propiedad.

Definición: Una relación [pic 53]sobre [pic 54]será una relación de orden, o simplemente un  orden, cuando sea reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Suelen emplearse símbolos como [pic 55]para designar relaciones de orden.

Si [pic 56]es un orden en [pic 57], se dice que el par [pic 58]es un conjunto ordenado.

Si se considera el conjunto ordenado [pic 59]. Cuando [pic 60]  ( o sea cuando [pic 61]se escribirá también [pic 62] se dirá entonces que “[pic 63]es menor o igual que [pic 64]” y que  “[pic 65]es mayor o igual que [pic 66]”.

Se escribirá [pic 67]<[pic 68] o  [pic 69]> [pic 70] para representar:

[pic 71]   y    [pic 72]

y se dirá que “[pic 73]es menor (o estrictamente menor ) que [pic 74]”  y  también que “[pic 75]es mayor (o estrictamente mayor ) que [pic 76]”

Si [pic 77]es un conjunto ordenado y [pic 78], la restricción [pic 79]es también un orden sobre [pic 80]. Se dirá que es el orden inducido en [pic 81]por [pic 82]. Si no hay posibilidad de confusión, este orden inducido se representará también por [pic 83].

Definición: Si [pic 84]es un conjunto ordenado y [pic 85]. Se dice que un elemento [pic 86]de [pic 87]es un mínimo ( o primer elemento) de [pic 88] cuando

[pic 89].

        Es decir, cuando [pic 90]es menor o igual que cada elemento de [pic 91].

        Se dice que un elemento [pic 92]de [pic 93]es un máximo ( o último elemento) de [pic 94] cuando

[pic 95].

En general, [pic 96]puede o no poseer mínimo o máximo. Si [pic 97]tiene elementos mínimo o máximo, estos son únicos.

Definición: Si [pic 98]es un conjunto ordenado y [pic 99]. Se dice que un elemento [pic 100]de [pic 101]es un mínimal de [pic 102] cuando

[pic 103]  y   [pic 104].

        Es decir cuando ningún elemento de [pic 105] es estrictamente menor que [pic 106].

        Se dice que un elemento [pic 107]de [pic 108]es un maxímal de [pic 109] cuando

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