Análisis de funciones Matemáticas 1

Índice

Definición de Función  _        2

Representación de una función        2

Funciones Elementales más comunes         3

• Funciones exponencial
• Funciones logarítmica.

Clasificación según la variable X        4

Clasificación de las funciones        5

• Funciones algebraicas
• Funciones Polinómicas
• Funciones constante
• Funciones polinómica de primer grado
• Funciones cuadrática
• Funciones a trozos
• Funciones racionales
• Funciones radicales
• Funciones trascendente
• Función exponencial
• Funciones logarítmicas        
• Funciones trigonométricas
• Funciones constantes

Relación         8

Conjuntos        9

Origen de las funciones        9

Logaritmos        11

• Logaritmos de un numero
• Logaritmo de un numero b en base b
• Logaritmo de la unidad
• Logaritmo de un numero negativo

Función Logarítmica        12

Propiedades de los logaritmos        12

Operaciones con logaritmos        12

Logaritmos naturales        12

Biografias         16

¿Qué es una función?

En las matemáticas actuales el concepto de función se define del modo siguiente:

Sean A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

Para representar las funciones se suele utilizar la notación:

F: A→ B para los conjuntos, f (x) = y para los elementos

A se llama conjunto inicial y B es el conjunto final

F (x) = y se expresa como y es la imagen de x a través de la aplicación f.

Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números.

Leonhard Euler, uno de los grandes genios de matemáticas de todos los tiempos, publico un libro, Introducción al análisis infinito, en el definió función como:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes. 

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (Llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Cómo Se Representan Las Funciones

• Mediante su representación gráfica:

Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica por eso, siempre que se quiera analizar una función, se graficará

• Mediante un enunciado:

Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción, la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativamente poco precisa.

Pero si el enunciado se acompaña con datos numéricos, la función puede quedar perfectamente determinada.

• Mediante una tabla de valores:
  Con frecuencia se nos dan los datos de una función mediante una tabla de valores en la cual se obtienen directamente los datos buscados, aunque en otros casos, hay que efectuar  complejos cálculos para obtener lo que se busca.
• Mediante su expresión analítica o fórmula:

La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función. Pero requiere un minucioso estudio posterior.

FUNCIONES ELEMENTALES MÁS COMUNES

Puesto que las funciones describes todos los procesos dinámicos, es deseable disponer de las descripciones matemáticas de algunos de los procesos dinámicos más importantes: constantes, uniformes o lineales, uniformemente acelerados, cíclicos, exponenciales.

• Funciones constantes, y = f(x1, xn,….., xn) = constante

Las funciones constantes son aquéllas en que su gráfica son rectas o planos horizontales que pasan por el numero constante al que está igualada la función. Para el caso de funciones de solo una variable, su grafica es una línea recta y para el caso de funciones de dos variables, es un plano horizontal en el espacio.

• Funciones lineales, y= f(x1, x2,….xn) =N°1•x1+N°•x2+…+N°n•xn

Geométricamente, las funciones lineales son rectas oblicuas o planos oblicuos que pasan por el origen de coordenadas, donde los números que multiplican a las variables, representan algebraicamente las proporciones en las que intervienen cada una de las variables.

FUNCIONES EXPONENCIALES

Una función exponencial es una función cuya expresión algebraica es de la forma
y= f(X) = (Número) x    o     y = f(x) = (Número) g (X)

Intuitivamente, pensaremos en una función exponencial (Número) x como el producto del número que constituya la base, multiplicado tantas veces por sí mismo como indique el exponente x:
Y= f(x) = (Número) x = a•a•(x veces)•a.

Físicamente, las funciones exponenciales representan procesos que crecen o disminuyen muy rápidamente.

Ejemplos de funciones exponenciales.
f(x) = 2x,         g(x) = 5x

Como y = f(x), las funciones de la forma y = ax también son funciones exponenciales. Las funciones exponenciales pueden graficarse seleccionando valores para x, determinando los correspondientes valores de y [o f(x)], y trazando los puntos.

Las funciones exponenciales se suelen utilizar para describir el incremento y el decremento de ciertas sustancias.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Las funciones logarítmicas de base a > 0, que representaremos por las expresiones de la forma f (x) = loga x, son los procesos inversos de las funciones exponenciales de base a > 0.

Así, se tendrá que loga x = y si y es el tiempo que hay que esperar para que un proceso exponencial de base a > 0 llegue a crecer o decrecer hasta una población de tamaño x, ay = x. 

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA VARIABLE X

En primer lugar clasificaremos las funciones dependiendo del carácter de la variable independiente X en dos tipos: Algebraicas y trascendentes.

• Funciones algebraicas: Este tipo de funciones corresponden a ecuaciones polinómicas donde pueden efectuar operaciones en las que interviene la variable independiente, como la suma, la resta, multiplicación, etc. Dentro de las funciones algebraicas nos encontramos:

• Funciones constantes: Donde la función viene definida por una constante y no interviene la variable independiente: y= f(x) = k
• Funciones lineal: La representación de este tipo de funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas: y = mx + n
• Función afín: Esta función se trata de un caso general de la anterior, ya que se trata de una recta cualquiera del plano: y = mx
• Función cuadrática: Viene expresada por una función polinómica de segundo grado, su representación es una parábola.
• Funciones racionales: Se expresan mediante el cociente de polinomios
• Funciones radicales: Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómica.
• Funciones a trozos: Son funciones definidas por una función distinta en cada intervalo que considere.

• Funciones trascendentes: Cuando la variable independiente, x, forma parte del exponente o da la base de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una función, entonces hablamos de funciones trascendentes.

• Función Exponencial: Como su nombre lo indica, es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real. Por lo tanto, recibe el nombre de función exponencial de base a y exponente x.
• Función logarítmica: La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, por tanto, devuelve el número al que tendríamos que elevar la base a, para obtener nuestra variable independiente.
• Funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas se obtienen cuando ampliamos el concepto de razones trigonométricas a los números reales. Por lo que hay el mismo número de funciones trigonométricas que de razones trigonométricas: y = sen x, y = cos x, y = sec x, etc.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Funciones algebraica

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, la sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

• Funciones explícitas:

• Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución   f(x)=5x-2

• Funciones implícitas:

• Si no se pueden obtener las imágenes de x  por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x-y-2=0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio

F(x) = a0 + a1x + a2x2 + a2x3 + … + anxn

Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constante

El criterio viene dado por un número real

F(x)=k

La grafica es una recta horizontal paralela al eje de abscisas.

...