Analisis del error

Unidad 1.  ANÁLISIS DEL ERROR

• ANÁLISIS NUMÉRICO

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculos en procesos más sencillos empleando números.

• MÉTODOS NUMÉRICOS

Los métodos numéricos son procedimientos mediante los cuales se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos. Tales procedimientos consisten en algoritmos que producen  aproximaciones de la solución de los problemas que se resolverán (solución numérica). La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.

Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

• EXACTITUD Y PRECISIÓN

Muchas veces cuando conversamos usamos los términos exactitud y precisión de manera indistinta. Sin embargo, ambos términos tienen un significado diferente.

ERRORES

El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.

Los errores asociados a todo cálculo numérico son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.

1. El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la sustitución de un infinito (sumatoria o integración) o un infinitesimal (diferenciación) por una aproximación finita. Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento, ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito. Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en cualquier procedimiento numérico.
2. La otra fuente de error tiene su origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. Muchos números requieren un número infinito de decimales para ser representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos. Incluso en el caso de que un número pueda representarse exactamente, algunas operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores. Las divisiones pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar. El error que se introduce al redondear un número se denomina error por redondeo.

DEFINICIONES DE ERROR

Ahora que disponemos de una idea correcta de qué es el error y de cuál es su origen, podemos formalizar el concepto de error.

Generalmente, no conocemos el valor de una cierta magnitud  (valor real) y hemos de conformarnos con un valor aproximado .  Para estimar la magnitud de este error necesitamos dos definiciones básicas:[pic 1][pic 2]

A menudo, el signo del error no es relevante y para poder comparar los errores de un cálculo contra los de otro, se prefiere utilizar sus correspondientes valores absolutos, quedando así las fórmulas:

En los métodos numéricos se usan soluciones iterativas o cíclicas, en las cuales se obtiene una aproximación actual sobre la base de una aproximación anterior. Este proceso se repite sucesivamente para calcular nuevas aproximaciones a la solución, mejores que las anteriores.

Así, el error absoluto y el error relativo lo podemos estimar usando la aproximación actual y la aproximación anterior de la siguiente manera:

SERIES DE MACLAURIN

Hay ocasiones en las que para resolver una función, es necesario utilizar series de potencias para encontrar soluciones aproximadas razonables.  Para ello se pueden emplear las fórmulas de Maclaurin

Alguna series de Maclaurin

Resolución de problemas y cálculo del error

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