Antecedentes Historicos Del cálculo

“ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL”

A continuación se muestra una breve descripción de la historia de ésta rama matemática, a través de diferentes periodos históricos. Seguido de un breve resumen por medio de un gráfico lineal con el avance ordenado.

EDAD ANTIGUA: Los primeros documentos oficiales relacionados con el cálculo diferencial, o que ligan ciertas áreas de ésta son los escritos de Euxodo, que datan entre 408 a.C. y 355 a.C. donde introducía de manera implícita el cálculo de áreas y volúmenes, además del concepto del límite de una función. (Método exhaustivo). Éstas a su vez, dieron la pauta para que Newton y otros científicos contemporáneos de Euxodo establecieran de manera fija lo que hoy conocemos como Cálculo Diferencial. Posteriormente, Arquímedes desarrolló también dentro de sus escritos una idea más semejante a lo que hoy conocemos sobre el cálculo infinitesimal en 287 a.C. – 212 a.C.

El método Exhaustivo, también llamado “agotamiento” empleado por Euxodo consistía, entre otras cosas, en calcular el área del círculo calculando el área de polígonos con bastantes lados, para asemejar lo más posible el área de dicha figura. (Ver imagen I.4.1).

I.4.1Teorema de “Exhaución” o agotamiento, de Euxodo.

EDAD MEDIEVAL: Cerca de los años 1,000 d.C. el matemático islámico Alhazen fue el primero en derivar la fórmula para calcular una suma integral a cualquier potencia. [n= n + (n-1) d].

En el siglo XI el polímata chino “Shen Kuo” logró definir una derivada primitiva en las que se sentaron las bases para el “Teorema de Rolle”. El cual decía que una función regular que crece y vuelve a su punto de origen tiene una recta tangente totalmente horizontal, o paralela al eje x en su punto máximo (c). Por lo tanto comprobaba que para dicha curva denotada como “f” al ser derivada, (f’) debía de adquirir un valor nulo, o sea 0. (Ver imagen I.4.2).

I.4.2 Teorema de “Rolle”, Bases del Cálculo Diferencial.

Éste último tiene una semejanza muy parecida con ciertos ámbitos inscritos dentro de la rama del Cálculo infinitesimal, dónde anexan tecnicismos muy propios de la materia, como “función”, “curva” y la misma “derivada” como un punto que muestra la pendiente de una recta tangente a una curva, en este caso, la pendiente de una recta que además de ser tangente a la curva, es paralela al eje x.

EDAD MODERNA: Bonaventura Cavalieri en Europa argumentó que el cálculo de áreas y volúmenes debía hacerse mediante sus escritos, (los cuales eran bastante similares a los de Arquímedes mencionados anteriormente). Además, se comprobaba que de cierta forma no eran resultados aplicables en su totalidad debido a que presentaba ciertos errores en algunas ocasiones. Por ésta razón su teorema no fue aprobado como una aportación al cálculo.

El cálculo como lo conocemos combinó los estudios de Cavalieri junto con el teorema de “diferencias finitas” desarrollado también en Europa más o menos en las mismas fechas. La recopilación fue hecha por John Wallis, Isaac Barrow y James Gregory, probando así la existencia del “Teorema fundamental del Cálculo”

El Teorema fundamental del Cálculo afirma que existe una relación antagónica entre la diferenciación y la integración; es decir, la Derivada y la Integral. Dicho de otra manera; Si una función cualquiera es derivada, y posteriormente es integrada ésta vuelve a ser tal cual era desde el principio, así como cuando a una cantidad n le suma otra cantidad m y le resta ésta última, obteniendo así n de nuevo. (Ver imagen I.4.3).

I.4.3 Teorema Fundamental del cálculo. Integración es contraria a la Diferenciación.

Fue Newton el que recopiló bastantes escritos matemáticos que juntos conforman lo que hoy conocemos como “cálculo”, entre ellos la “Regla del Producto”(I.4.4), que es conocida como una fórmula de derivación hoy en día. (Producto de dos funciones, imagen I.4.5) “La regla de la cadena”. Y las “Series Taylor” Las cuales fueron introducidas con el fin de ser aplicables a la física matemática que hoy conocemos, como indicio de que la matemática por sí sola, aunque tenga orígenes abstractos nos revela realidades que acontecen en nuestro entorno diario.

d/dx(uv)= u dv+v du

I.4.4 Regla del Producto. I.4.5 Regla de la cadena.

Aunque Newton no publicó muchos de sus trabajos, se fueron dando a conocer con el paso del tiempo.

Uno de los personajes en la historia del Cálculo Infinitesimal fue Gottfried Wilhelm Leibniz, quien al principio fue acusado de hacer plagio del trabajo de Newton, debido a que en aquel entonces, los conocimientos eran acreditados como aportaciones de la nación del ilustre, además de que había gran rivalidad entre ingleses y alemanes.

Hoy en día se reconoce a Gottfried como aportador por su cuenta de mucha notación que hoy en día sigue aplicable dentro de lo que es el Cálculo Diferencial”.

La invención del Cálculo, tanto diferencial como Integral se le atribuye a ambos investigadores, pues aunque al principio el hecho de acusaciones que resultaron falsas por parte de Newton hicieron que el Reino Unido se viera marginado por un tiempo en cuanto a las matemáticas modernas. Más tarde, tras una minuciosa investigación, se dieron cuenta de que efectivamente Newton llegó primero a sus resultados, pero Leibniz publicó primero. El hecho trascendental y lo más curioso de esto, fue que ambos llegaron a la misma conclusión, pero Newton a través del cálculo diferencial y Leibniz en el integral; además, Newton se centró en la aplicación de la diferenciación en la realidad física, en diferentes ramas de ésta; mientras que Leibniz, por su parte, no conforme con su aportación en el área de la integración, dedicó más sus estudios a la definición clara de los conceptos básicos y a una correcta notación de éstos, la cual es usada hoy en día aún por encima de la notación usada por Newton. (Ver imagen I.4.6).

I.4.6 Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton, ambos considerados inventores de lo que hoy conocemos como “Cálculo Diferencial”.

“APLICACIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”

Mientras que algunas de las ideas del cálculo fueron desarrolladas tempranamente en las matemáticas griegas, chinas, indias, islámicas y japonesas, el uso moderno del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando

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