ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CÁLCULO.

1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CÁLCULO.

Introducción

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez

construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la

trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento,

descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su

nacimiento. Es muy interesante prestar atención a los de conocimientos que se acumulan,

desarrollan y evolucionan a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a

través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que

seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia

y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la

humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas

trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la

madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en

nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra

forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan

constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una

larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos

infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión

necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos

desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y

Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales

que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme,

Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas

matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.

Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las

contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por

Descartes y Fermat.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz

seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió

la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción

matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las

formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en

Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron

precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el

Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del

tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII,

XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las

joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

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El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y

matemáticos:

 Encontrar la tangente a una curva en un punto.

 Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

 Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

 Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido,

encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente,

dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier

instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo,

concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físicomatemático

inglés Isaac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma

casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus

propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen")

mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a

la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada

sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x

infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con

notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No

resulta difícil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera

de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el

cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco

convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se

definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter

perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente

criticada. Dos siglos pasaron hasta que los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y

hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos

hallazgos del razonamiento humano.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de

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