Aplicación de Ecuaciones Diferenciales

INDICE

Índice ….………………………………..........………………………………. 1

Introducción …………………………………………………………………. 2

Justificación …………………………………………………………………. 3

Objetivo ……………………………………………………………………….. 4

Planteamiento ..………………………………………………………………. 5

Descripción de la metodología empleada ..……………………………... 7

Resultados obtenidos ......………………………………………………..... 10

Discusión y conclusiones ………………………………………………..... 13

Bibliografía ………………………………………………………....….……... 13

INTRODUCCIÓN

El descubrimiento independiente del Cálculo por Newton y Leibnitz, sentó las bases para el desarrollo de las matemáticas, ciencia y la ingeniería. Uno de tales avances corresponde a las ecuaciones diferenciales.

Los ingenieros y científicos, frecuentemente hacen uso de las ecuaciones diferenciales para modelar los efectos del cambio, movimiento y crecimiento  

La comprensión de la naturaleza y sus fenómenos necesita del auxilio de las matemáticas, y las Ecuaciones Diferenciales y en diferencia constituye una herramienta esencial para matemáticos, físicos, ingenieros y demás técnicos y científicos, pues, sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes.

Existen muchas áreas donde son aplicadas las Ecuaciones diferenciales, son de suma importancia para el cálculo de problemas en la ciencia, física, química, ingeniería y otras. En el presente trabajo de investigación exponemos uno de los problemas enfocándonos en la física con la aplicación de resorte con amortiguamiento. Obteniendo por medio de una ecuación diferencial de segundo orden, la solución general para el problema, haciendo uso de software para obtenerla y en base a ella realizar los cálculos correspondientes para determinar la solución.

Es importante resaltar que esta aplicación es común en el sistema de transporte y carga, con ella las grandes empresas fabricantes de determinan el sistema de amortiguamiento indicado para sus vehículos. (García, 2015)

JUSTIFICACIÓN

        Las ecuaciones Diferenciales son herramientas utilizadas en distintas vertientes de la Ingeniería. Las leyes científicas, que, por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las Ecuaciones Diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose a esta idealización Modelo matemático.

        Una ecuación diferencial es una relación, valida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan, y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas.

        Hoy en día es posible combinar esta y otras disciplinas para facilitar su desarrollo; la Programación es una de ellas ya que mediante la creación de códigos diseñados con algorítmicos específicos se logra modelar Ecuaciones diferenciales para un fin particular. (Reich, 2014)

OBJETIVO

        Por medio de una aplicación del uso de Ecuaciones de Segundo Grado se pretende llevar a la práctica lo visto durante el curso, dando solución a una situación particular propia del área de la Mecánica; posteriormente se analizará el procedimiento y resultado de la ecuación.

Cabe mencionar que otro objetivo particular es el conjuntar la Ingeniería en Tecnologías de la Información con las Ecuaciones diferenciales, creando un programa que, al momento de ingresar las constantes de la ecuación de segundo grado, nos arroje como resultado la fórmula general para resolver el problema.

PLANTEAMIENTO

Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre

El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación:[pic 1]

Supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debido al medio que rodea al objeto.

Según se advierte en la siguiente imagen, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.[pic 2]

En mecánica se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción, que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando no hay otras fuerzas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

[pic 3]

Donde β es una constante de amortiguamiento positiva, y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento. Por lo que la ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre es:  (Spiegel, 1995)[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Así la ecuación auxiliar quedaría =0 y sus raíces correspondientes son:[pic 8]

                              ,     [pic 9][pic 10]

Se tienen tres casos posibles que dependen del signo algebraico del resultado de las raíces o discriminante anteriormente mencionado. (Zill, 2000)

CASO 1. Cuando el discriminante es mayor que cero se dice que el sistema está sobre amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento β, es grande comparado con la constante de resorte k. La solución a la ecuación diferencial correspondiente a este caso es:

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