Aplicaciones de la derivada y análisis de funciones

Nombre:

Raúl Navarrete Cordero

Matrícula:

19013066

Nombre del Módulo:

Cálculo diferencial v1

Nombre de la Evidencia de Aprendizaje:

Aplicaciones de la derivada y análisis de funciones

Fecha de elaboración:

30 de marzo de 2021

Para realizar esta Evidencia de Aprendizaje es necesario que hayas revisado los recursos que se te presentaron en el Bloque 2.

1

Calcula la pendiente de la ecuación de la recta tangente a y = 5x2 + 4x -2 en el punto cuya abscisa es x = 2.

Procedimiento para calcular la pendiente de la recta tangente:

Para calcular la pendiente de la recta tangente se tiene que derivar la función                 y = 5x2 + 4x -2 se necesita calcular dicha función para obtener la pendiente que se representa con la letra m.

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Al derivar la función se obteniendo como resultado:

[pic 6]

Para obtener la pendiente la cual se representa con la letra m se dice que m=y’ para calcular m se necesita calcular la función y’=10x +4 sustituyendo valor x que el punto de la abscisa x= 2.

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Obteniendo el resultado de la pendiente como m=24

2

Calcula la ecuación de la recta tangente a y = 5x2 + 4x -2 en el punto cuya abscisa es x = 2.

Fórmula para obtener la ecuación de la recta tangente [pic 10]

Procedimiento para calcular la ecuación de la recta tangente:

Primer paso para obtener la ecuación de la recta tangente es conocer el punto por donde pasa la función y = 5x2 + 4x -2, ya que solo contamos con la abscisa x = 2. Para obtener el punto por donde pasara la función hay que encontrar el valor de y, se tiene que sustituir el valor de x en la función y = 5x2 + 4x -2, como a continuación se describe.

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Dando como resultado el punto por donde pasa la función (2, 26)

Segundo paso para calcular la pendiente de la recta tangente se tiene que derivar la función y = 5x2 + 4x -2 se necesita calcular dicha función para obtener la pendiente que se representa con la letra m.

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Al derivar la función se obteniendo como resultado:

[pic 19]

Para obtener la pendiente la cual se representa con la letra m se dice que m=y’ para calcular m se necesita calcular la función y’=10x +4 sustituyendo valor x que el punto de la abscisa x= 2.

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Obteniendo el resultado de la pendiente como m=24

Conociendo los siguientes valores:

Punto por donde pasa la función (2, 26)

La pendiente m=24

Es momento de calcular la ecuación de la recta tangente con la formula

[pic 23]

Sustituyendo los valores en la fórmula:

                       [pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Donde la pendiente multiplica a x y 2 dando como resultado:

[pic 28]

Se despeja y pasando al otro lado del igual como sumando:

[pic 29]

[pic 30]

Obteniendo el resultado de la ecuación de la recta tangente:[pic 31][pic 32]

Grafica:

[pic 33]

3

Calcula la abscisa del punto en donde una recta de pendiente igual a 2 toca a y = x2.

4

Calcula la ordenada del punto en donde una recta de pendiente  m = - 1 toca a y = 1 – x2.

5

El desplazamiento de una partícula está representado por la expresión s(t) = t2-7, en donde s representa la posición de la partícula (dada en metros) y t es el tiempo (dado en segundos). ¿Cuál es la velocidad de la partícula en t = 2 segundos?

Procedimiento:

Para calcular el desplazamiento de una partícula representada por la expresión s(t) = t2-7.

Como la velocidad es la primera derivada del desplazamiento se deriva s(t) con respecto al tiempo obteniendo la siguiente expresión:

[pic 34]

[pic 35]

Se deriva la función obteniendo el resultado:

[pic 36]

Al sustituir t= 2 en esta expresión para determinar la velocidad se obtiene el resultado:

[pic 37]

[pic 38]

Por lo que la velocidad de la partícula en un tiempo t= 2 segundos es de v= 4m/s        

6

El desplazamiento de una partícula está representado por la expresión s(t) = t3-8, en donde s representa la posición de la partícula (dada en metros) y t es el tiempo (dado en segundos). ¿Cuál es la aceleración de la partícula en t = 2 segundos?

Procedimiento para obtener la aceleración de una partícula representada por la s(t) = t3-8

Primero se obtiene la velocidad que es la primera derivada:

[pic 39]

Se deriva la función obteniendo el resultado:

[pic 40]

Se utiliza la expresión obtenida   , cuya derivada es la aceleración, entonces: [pic 41]

[pic 42]

Se obtiene como resultado de la derivación [pic 43][pic 44]

Dando como resultado

[pic 45]

Sustituyendo el valor de t=2 se obtiene el resultado de la aceleración

[pic 46]

Como el resultado es positivo se determina que la velocidad a la que se desplaza la partícula va en aumento

7

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura del proyectil después de t segundos está dada por s = 12t -t2. Determina el tiempo que le toma alcanzar su altura máxima.

8

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura del proyectil después de t segundos está dada por s = 12t -t2. Determina la altura máxima que alcanza el proyectil