APLICACIONES DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Tangente a una curva.

Ya que la derivada de una función es en sí una función que al evaluarla en un punto (x0,  y0) nos proporciona la pendiente de la recta tangente en ese punto, es decir    y´(x0) =  m (x0)  y en forma general  y´= m(x)  es la función de las pendientes a la gráfica de la función en cualquier punto.

 De lo anterior podemos deducir que si:

  m(x0) = 0           LA RECTA TANGENTE  EN ESE PUNTO ES  HORIZONTAL  A LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN.

 m(x0) > 0           ES DECIR POSITIVA   LA FUNCIÓN ESTA CRECIENDO Y LA TANGENTE EN ESE PUNTO

                            VA DE ABAJO HACIA ARRIBA Y DE IZQUIERDA A DERECHA.  

m(x0)  <0           ES DECIR NEGATIVA LA FUNCIÓN ESTA DECRECIENDO   Y LA TANGENTE EN ESE PUNTO

                            VA DE ARRIBA  HACIA ABAJO  Y DE IZQUIERDA A DERECHA.  

EN LA GRÁFICA SE MUESTRAN LOS TRES CASOS

[pic 1]

Dos líneas rectas de interés son la TANGENTE  y la NORMAL  en un punto las cuales son perpendiculares entre sí, es decir,  el producto de sus pendientes es igual a  -1   esto es    mT • mN  = -1 ,   por lo que al obtener la pendiente de la recta tangente  podemos determinar la pendiente de la recta normal.

La ecuación de la recta tangente  se obtiene de la forma punto pendiente    y – y0 = mT (x – x0)  y de la misma forma la ecuación de la recta normal    y – y0 = mN (x – x0)  las cuales se pueden expresar en cualquiera de sus formas de donde dos de las más usuales son:

FORMA    COMUN              Y = mX + b               y               FORMA   GENERAL      A x  +  B y  + C  = 0

                                          [pic 2]         

        EJEMPLO    Determinar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal  en su forma común, a la función  F(X) =  y = 4 x2 + 3x – 2   en el punto   P(0, -2)          [OBSERVACION  este punto también se puede  describir como            ( 0 , f(0)) ]            

  Sea la función                                           y = 4 x2 + 3x – 2  

 Derivando                                                   y´= 8x + 3   o bien  m(x) = 8x + 3    

Evaluando en x=0                                     m(0) =  3     es decir    mT  = 3      y   mN  = -  1/3

Usando la forma punto pendiente     y – (-2) = 3 (x – 0)   tenemos    y  = 3x -2  es la ecuación de la recta tangente

Y                 y – (-2) = (-1/3)( x – 0)  tenemos       y = (-1/3) x  - 2  es la ecuación de la recta normal.

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Velocidad y aceleración

Si  d(t) representa la posición de un objeto, entonces su primer derivada representa la su  velocidad instantánea v(t).     Y   si derivamos la velocidad  esta representa la  aceleración del objeto.

 EJEMPLO.   Se deja caer una pelota desde la azotea de un edificio. Calcula la velocidad instantánea a los 2 segundos de que comienza a caer.

La función de posición en caída libre es   d(t) = d0  + v0 t  + 1/2 g t2        en donde  d0  y v0   es la distancia inicial   la velocidad inicial respectivamente, en este caso son igual a cero, por lo que la función de posición queda como:

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