Axiomatica de la teoría de Conjuntos

La Axiom´atica de la Teor´ıa de Conjuntos

Carlos Ivorra

(http://www.uv.es/=ivorra)

1 Introducci´on

Durante el siglo XIX se llev´o a cabo un proceso de fundamentaci´on de la matem´atica

en virtud del cual se fueron precisando paulatinamente todos los conceptos b´asicos, desde

el concepto de l´ımite hasta el de n´umero natural. Finalmente, Frege present´o lo que

deber´ıa haber sido la culminaci´on de este proceso: una teor´ıa axiom´atica de conjuntos,

es decir, un sistema de axiomas a partir de los cuales pod´ıan demostrarse rigurosamente

todos los resultados b´asicos aceptados por los matem´aticos y, a partir de ellos, todos los

teoremas matem´aticos. Desgraciadamente, Bertrand Russell descubri´o que la axiom´atica

de Frege era contradictoria. En efecto, uno de los axiomas b´asicos de Frege afirmaba lo

siguiente:

Para toda propiedad φ(X) definible en la teor´ıa, existe un conjunto Y cuyos

elementos son exactamente los conjuntos X que cumplen φ(X).

En otros t´erminos, Frege postulaba la existencia del conjunto

Y = {X | φ(X)}.

Lo que Russell observ´o fue que esto pod´ıa aplicarse a φ(X) ≡ X /∈ X, que era

una propiedad trivialmente definida en la teor´ıa de Frege, de modo que deb´ıa existir un

conjunto

R = {X |X /∈ X},

que claramente nos lleva a la contradicci´on R ∈ R ↔ R /∈ R.

A partir de aqu´ı, la minuciosa l´ogica de Frege permit´ıa probar con el mismo rigor que

2+2 = 4 y que 2+2 = 5, por lo que su teor´ıa se volv´ıa inservible. El mismo Russell, junto

con A. N. Whitehead, present´o un tiempo despu´es otra teor´ıa axiom´atica que, al menos en

apariencia, estaba exenta de contradicciones, si bien era tan in´util como la de Frege, esta

vez no por contradictoria sino por complicada. Se trata de los Principia Mathematica.

La primera teor´ıa axiom´atica construida por un matem´atico a gusto de los matem´aticos

fue la de Zermelo. La forma en que Zermelo evit´o la paradoja de Russell fue debilitar el

axioma de formaci´on de conjuntos de Frege, reduci´endolo a:

1

Para toda propiedad φ(X) definible en la teor´ıa y todo conjunto U, existe

un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los elementos X ∈ U que

cumplen φ(X).

As´ı, lo que Zermelo postulaba era la existencia de

Y = {X ∈ U | φ(X)}.

Ahora bien, este axioma s´olo permite definir conjuntos a partir de otros conjuntos, por

lo que Zermelo tuvo que a˜nadir otros axiomas que garantizaran la existencia de aquellos

conjuntos necesarios que no pod´ıan obtenerse como subconjuntos de otros conjuntos dados.

Enseguida describiremos con detalle la axiom´atica de Zermelo, pero

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