Axiomática de la teoría de conjuntos y los números reales.

Axiomática de la teoría de conjuntos y los números reales.

El hombre en su afán de conocer más sobre la matemática, ha tratado la manera de plasmar la teoría a través de axiomas, definir los conceptos básicos; en los cuales se comprenda de manera más fácil. Claramente esto no ha sido sencillo; varios matemáticos en su momento lo hicieron, pero con el pasar del tiempo se fue demostrando que algunos axiomas eran incorrectos, y surgía la necesidad de corregirlos. Así es cómo surge la teoría axiomática tanto de los números reales como de la teoría de conjuntos. En donde están definidos muchos axiomas que hoy en día utilizamos.

La teoría de conjuntos, junto con la lógica, constituye la base fundamental de las matemáticas modernas. En la teoría axiomática de conjuntos suele darse una explicación de por qué es necesario fundamentar la teoría de conjuntos y dejarla construida a partir de unos axiomas. Estos axiomas en su mayoría son principios evidentes, una vez que se ha comprendido previamente como deben comportarse los conjuntos o, por lo menos, cuando ya se tiene una idea de esto. Hay muchos símbolos que se utilizan en conjuntos, por ejemplo hay conceptos básicos, como elemento, unión, intersección, superconjunto, etc., estos ayudan a facilitar la comprensión de conjuntos. Además hay varios tipos de conjuntos, con características únicas. La teoría de conjuntos está constituida por muchos axiomas, que no necesitan demostración.

Es de tener en cuenta que los conceptos que ahora se conocen se fueron introduciendo paulatinamente según surgían nuevos axiomas en dicha teoría. En su momento algunos conceptos se consideraron absurdos y ridículos, pero con el tiempo fueron tomando un significado preciso que dan respuestas precisas a muchas preguntas. Es así que la claridad de los conceptos es suficiente para que cualquier persona comprenda el tema, e incluso pueda hacer demostraciones lógicas sobre la teoría de conjuntos.

Por lo anterior descrito, se puede decir que varias ramas de la matemática pueden definirse formalmente dentro de la teoría de conjuntos, y varias preguntas sobre la naturaleza de la matemática se reducen a preguntas de teoría de conjuntos. Esta es una idea básica sobre la teoría de conjuntos. Ahora se dará una breve reseña sobre la axiomática de los números reales, para luego realizar un análisis comparativo entre ellas.

Axioma de los números reales, este es representado por , el cual es un conjunto conformado por otros conjuntos más pequeños, también se puede decir que el conjunto de los números reales es superconjunto por lo anteriormente dicho. Cuando se habla de axiomas, se toma en cuenta que este no necesita ser demostrado, para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se necesita de los axiomas que respalden cada procedimiento, de acá que se parten de otras más complejas. Sin esto se pondría en duda la afirmación del proceso. Los números reales son el conjunto , este viene a ser un conjunto que satisface los tres tipos de axiomas los cuales son: de algebraicos, de orden y topológicos; el primero trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división, el segundo establece un orden para los elementos de un conjunto cualquiera y el tercero trata sobre la noción de continuidad, de acá que viene a ser las bases de las matemáticas de hoy en día en el análisis numérico.[pic 1][pic 2]

Los axiomas algebraicos están conformados por dos operaciones básicas como lo son la suma o adición  donde  y la multiplicación o producto  donde  la cual satisfacen los axiomas de este conjunto cumpliendo así algunas propiedades. Por otro lado en el campo de los números reales son seis los axiomas que se toman como importantes y a través de esto se logran desarrollar los demás axiomas y teoremas que vienen a ser parte importante de las matemáticas. [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Para todo elemento , existe también un elemento en . La propiedad conmutativa toma en cuenta el axioma  de la suma, la cual nos dice que el orden de los sumandos no altera el valor de la suma, sin importar el número de elementos: si , entonces , como también el axioma  del producto, que dice que el orden de los factores no altera el producto, , (Ley de cerradura para la suma y el producto).[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

También el axioma  existe un elemento en los números reales que, al ser sumado con cualquier otro número , este sigue siendo el mismo número real; este se llama cero, denotado como  y se conoce también como el elemento neutro aditivo, respectivamente vemos que:  ,   El axioma  nos dice que existe un número real que al ser multiplicado por otro real sigue siendo el mismo, denotado como  conocido como neutro multiplicativo, representado así:  [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Para todo elemento , existe también un elemento en . La propiedad asociativa nos da otros axiomas en la cual la suma y la multiplicación se ven implicadas, axioma  nos dice que la asociación de la suma no altera el valor de ésta, en tanto el axioma  trata sobre el orden con que elijamos los productos no afecta el resultado, respectivamente se cumple lo siguiente: . Ante esto surge la propiedad distributiva en el producto, que se convierte en el axioma  si .[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

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