El conjunto de los numeros reales

Temario

Unidad I: Propiedades de los números reales.

Unidad II: Funciones.

Unidad III: Limites y continuidad.

Unidad IV: La derivada.

Unidad V: Aplicaciones de la derivada.

Evaluacion

Examen Extra Opción

80% 20%

100% 20%

UNIDAD 0:

A υ B Ac A \ B = A ∩ BC

{X | X ∈ A˅X ∈ B} {X | x ȼ A}

A x B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Sea A la colección de árboles que tienen flores y sea B la colección de árboles que dan frutos calcular A ∩ B.

A ∩ B = B

A ∪ B = {X | x es un árbol que da flores o x es un árbol que da fruta}

A \ B = A ∩ BC = A

UNIDAD I:

U =R: El conjunto de los numeros reales denotados R cumple los siguientes axiomas.

Axiomas de Adición Axiomas de la Multiplicación

A1: Cerradura

Si a, b ∈ R entonces a + b = R M1: Cerradura

Si a, b ∈ R entonces (a • b) = R

A2: Conmutativa

Si a, b ∈ R entonces a + b = b + a M2: Conmutativa

Si a, b ∈ R entonces a • b = b • a

A3: Asociativa

Si a, b, c ∈ R entonces a + (b + c) = (a + b) + c M3: Asociativa

Si a • (b • c) = (a • b) • c

A4: Existencia del elemento neutro

Existe el elemento 0 ∈ R que cumple: a + 0=0 + a = a M4: Existencia del elemento neutro

Existe el elemento 1 ∈ R que cumple 1 • a = a • 1 = a

A5: Existencia del inverso aditivo

Dado que A ∈ R, existe el inverso aditivo de a que es –a que cumple a + (–a) = 0; (–a) + a = 0 M5: Existencia del inverso multiplicativo

Dado que a ∈ R, con a ≠ 0, existe el inverso multiplicativo de a, que es –a = 1⁄aque cumple

a–a=–aa=1

Distributiva

a (b + c) = ab + ac ; (a + b) c = ac + bc

EJEMPLOS:

1.-Si a + b = a + c entonces b = c (Ley de cancelación).

Comprobación:

b= 0 + b. . . . . . . . . . . . . . . Por A4

b= a + (-a) + b. . . . . . . . . . Por A5

b= (-a) + a + b. . . . . . . . . . Por A2

b= (-a) + (a + b). . . . . . . . Por A3

b= (-a) + a + c. . . . . . . . . . Por hipótesis

b= [(-a) + a] + c. . . . . . . . . Por A3

b= 0 + c. . . . . . . . . . . . . . . Por A5

b= c. . . . . . . . . . . . . . . . . . Por A4

2.-Si a ∈ R con a ≠ 0, entonces: ax = a explica x = a

Comprobación:

x= 1 • x. . . . . . . . . . . . . . . Por M4

x= (a • a-1) x. . . . . . . . . . . Por M5

x= (a-1 • a) x. . . . . . . . . . . Por M2

x= a-1 (ax). . . . . . . . . . . . . Por M3

x= a-1 (a). . . . . . . . . . . . . . Por hipótesis

x= 1. .

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