BALANCE DE ECUACIONES

Ecuaciones de Balance

Ejercicio 1

En una curva en el plano (Que representa un objeto curvo en el plano). Suponga la curva plana definida por el conjunto:

[pic 1]

Y suponga que para dicha curva la densidad está dada por la expresión:

[pic 2]

Expresar la ecuación integral que permite encontrar la masa de dicha curva y el centro de masa.

Resolución del Ejercicio

1. Determine cuál es el conjunto frontera para cada uno de dichos objetos. Nota el conjunto frontera de  lo denotamos como .[pic 3][pic 4]

Es frontera del conjunto A si toda bola (entorno) centrada(o) en dicho punto contiene puntos del conjunto A y puntos que no pertenecen al conjunto A, es decir, que pertenecen a su complementario. Otra manera de definir un punto frontera de un conjunto A es aquél punto que no es ni exterior ni interior al conjunto A.

Así pues, siempre próximos a un punto frontera de un conjunto donde esté definida una función se encuentran puntos de ese mismo conjunto y puntos que no pertenecen a dicho conjunto. Esto hace que el estudio de las propiedades de continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones en un punto sea diferente en un punto interior que en un punto frontera de uno de los conjuntos cuya unión resulte en el dominio de la función.

Por lo que graficamos nuestra función:

[pic 5]

Nos podemos dar cuenta que cumple con todo lo antes mencionado, es decir su conjunto frontera es la misma a la del plano.

1. Haga un dibujo para visualizar de manera separada , .
   Para visualizar tanto la curva como su conjunto frontera nos apoyaremos de GeoGebra, primero graficaremos la curva con sus ecuaciones paramétricas:[pic 6][pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Ahora graficaremos el conjunto frontera utilizando de igual forma GeoGebra:

[pic 10]

Como podemos ver en la gráfica, el conjunto frontera de esta curva es la misma curva, ya que en la definición de lo que es un conjunto frontero se nos dice que son todos los puntos que no están ni dentro ni fuera de la curva, por lo tanto los puntos que no están ni dentro ni fuera de nuestra curva son todos los puntos que forman a nuestra curva.

1. Represente de forma completa los pasos que se seguirán para calcular la masa, el centro de masa, la fuerza de masa o de cuerpo, y fuerza de superficie (o de frontera) utilizando las integrales adecuadas.

De acuerdo a las ecuaciones del cálculo de masa, estas se dividen en 3, dependiendo de si se trata de un volumen, de un área o de una longitud, en el caso de esta curva que tenemos se trata de una longitud, por lo que procederemos a utilizar la siguiente formula:

[pic 11]

Siendo  ,  lo sustituimos en la fórmula y tendríamos:[pic 12]

[pic 13]

Considerando que la cuerva está definida por:

[pic 14]

Procedemos a sustituir y a colocar los límites de integración:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Por lo que, sustituyendo estos datos en la integral, nos quedaría de la siguiente forma:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Resolviendo los productos nos quedaría lo siguiente:

Cancelando la raíz con el cuadrado:

[pic 23]

Resolviendo los diferenciales:

[pic 24]

Y resolviendo los productos tendríamos:

[pic 25]

Y esta integral es la que nosotros debemos resolver para poder calcular la masa de nuestra curva.

Ahora procederemos a desarrollar la ecuación para el cálculo del centro de masa:

Los objetos curvos también pueden estar localizados en el espacio, en el plano o limitados a un segmento. Así que la integral puede tomar las tres opciones, ya sea para  donde estas ecuaciones se puede convertir en tres, dos o una integral dependiendo del caso que corresponda. Y por tanto el centro de masa Kc puede ser [pic 26]

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