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TEORIA DE CONTROL DE ÓPTIMA

EL SIGNIFICADO DE LA DINÁMICA

La teoría de la estática comparativa se refiere a las tasas instantáneas de cambio de variables como la elección de los parámetros (restricciones) que enfrenta el cambio que toma las decisiones. En muchos casos (la mayoría, tal vez), esto proporciona una base aceptable para afirmar hipótesis refutables extrapolando estos cambios instantáneos en un intervalo finito. Así, por ejemplo, a pesar de que la derivación matemática de la ley de la demanda de los cambios de precios compensada es, estrictamente hablando, una declaración acerca de la función de demanda a un precio único y el vector de ingresos, el supuesto adicional de que las propiedades de curvatura subyacentes sostenga sobre un intervalo de valores nos permite afirmar la ley de la demanda en su forma empírica útil.

En algunos problemas, sin embargo, la mera declaración del movimientos instantáneos en variables de elección es insuficiente. El problema es más evidente en teoría del capital, donde es la cantidad en capital-típicamente duradero lo importante, y donde una decisión importante se refiere al nivel de cambio de flujo de servicio que se proporciona a través del tiempo. Por otra parte, es precisamente los cambios en la tasa de utilización de los recursos en el tiempo que son de interés, en lugar de la mera especificación de la dirección inicial de cambio. Tales decisiones son inherentemente dinámicos; toda la trayectoria en el tiempo futuro de la selección de las variables de cambio son realizadas en el presente. La propiedad fundamental de los modelos dinámicos es que las decisiones tomadas en el presente afectando las decisiones en el futuro.

Algunas de las aplicaciones más importantes del análisis dinámico han sido en el área de la utilización de los recursos naturales. El tema de la eficiencia (maximización riqueza de largo plazo) el uso de algún recurso, como el pescado, que puede ser agotado por una pesca excesiva, es un ejemplo prominente. Por esta razón, y porque nos permite ilustrar claramente las cuestiones importantes que participan en este tipo de problemas, vamos a utilizar esto como nuestro modelo prototipo de la utilización de recursos en el tiempo.

En el Capítulo 12, analizamos brevemente el problema de inversión fisheriana de maximización el valor presente de algún recurso, por ejemplo, árboles, con función de crecimiento g (t), donde t = tiempo. La función objetivo es P = g (t); el problema se refiere a la longitud de tiempo que el recurso debe ser dejado para crecer. Maximizando P con respecto a t producimos la condición de primer orden r = g '/ g; los árboles se dejan crecer hasta que el aumento en el valor de las acciones de cada año cae al valor alternativo del capital, dada por la tasa de interés r. Aunque se trata de un problema de maximización "con el tiempo" no es realmente un problema dinámico. Sólo hay una decisión que tomar, y no hay vinculación de esa decisión con cualquier otra opción (no hay ninguno, de hecho) a realizar en una fecha posterior.[pic 1]

Incluso el caso de siembras repetidas (la denominada solución Faustmann), donde se añade un costo de oportunidad adicional, la de uso repetido de la tierra a través de la replantación, es esencialmente un problema estático. La solución de este problema, sin embargo, es sugestiva de la aproximación general a problemas dinámicos. Después de la cosecha inicial, con valor de g {t), la política de "óptimo" es repetir la decisión anterior. Por lo tanto, la función objetivo se hace:[pic 2]

[pic 3]

O

[pic 4]

Despejando el tiempo que maximiza la riqueza de la cosecha se obtiene un período de crecimiento más corto que cuando el costo de oportunidad de la tierra después de la cosecha es cero, como en el modelo original de Fisher. Ponga un poco más en general, la política que maximiza el valor (en este caso, la riqueza) de hoy de alguna flujo extendido de ingresos (tal vez infinito) debe, después de la primera cosecha, es una política que maximice la riqueza a partir de ese momento también. Haciendo caso omiso, por el momento, exactamente cómo se llega al punto de la primera y sucesivas cosechas, todo el camino no puede ser "óptimo" (maximizando riqueza, en este caso) a menos que el futuro después de que la cosecha está óptimamente programado también. De lo contrario, toda la decisión desde el momento inicial de avance se puede mejorar simplemente reemplazando el antiguo camino después de la primera cosecha con el nuevo. Este razonamiento fue enunciado por primera vez por el matemático Richard Bellman en la década de 1950 y es conocido como el principio de optimalidad. Esta idea se ha utilizado ampliamente en las últimas décadas para analizar problemas donde las decisiones están vinculadas, es decir, cuando una decisión en un período de tiempo afecta el nivel de alguna variable relevante en el futuro. En ese caso, la replicación sencilla de decisiones anteriores no será óptima; cada decisión impone una "externalidad" en el futuro. Es sólo entonces que un problema se convierte verdaderamente dinámica.

Para ilustrar estas cuestiones más concretamente, considere un lago de propiedad privada que contiene un stock de peces inicial x0. Supongamos que el único valor de este lago es el valor de la población de peces en él. En general, como los peces se pescan en el tiempo, el tamaño de la población de peces va cambiando, y el valor del recurso variará correspondientemente. Por otra parte, a menudo es el caso que a mayor número de peces en el lago, más fácil será para su captura; por esta razón, las decisiones de la pesca en el presente pueden tener un efecto adicional sobre el costo marginal de la pesca en el futuro y, por lo tanto, el valor actual del recurso. Dado que el precio actual de la totalidad del recurso es el valor capitalizado de todos los futuros beneficios menos los costos, las decisiones tomadas "hoy" que afectan el costo de la pesca "mañana" se reflejan en el valor actual del recurso. Un dueño que tuvo en cuenta el costo futuro de las decisiones tomadas en el presente probablemente no utilizará el recurso de una manera que maximiza la riqueza. La situación es directamente análoga a la del ejemplo de Coase del ganado que deambulan en la tierra de un granjero vecino y destruyen algunos cultivos. La elección de la cantidad de ganado para elevar sin tener en cuenta el costo impuesto a las tierras agrícolas dará lugar a una asignación con menos valor a todos los recursos (agrícolas y de ganado de producción en conjunto) que si se consideran los costos "externos". En el presente caso, los costes externos son las impuestas en el futuro, tal vez en el mismo propietario como en el presente.

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