Bisecciones métodos numéricos

Soluciones de Ecuaciones no Lineales

En esta segunda parte analizaremos uno de los problemas básicos del análisis numérico: el problema de búsqueda de raíces. Si una ecuación algebraica o trascendente es relativamente complicada, no resulta posible por lo general hallar raíces exactas. Es más, en algunos casos las ecuaciones tienen coeficientes conocidos solo de forma aproximada y, por tanto, carece de sentido tratar de hallar las raíces exactas de la ecuación. Por consiguiente, adquieren particular importancia los procedimientos de cálculo aproximado de raíces de una ecuación, así como la estimación de su grado de exactitud.

Sistemas de ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones es no lineal si, por lo menos, una de sus ecuaciones no es lineal (hay un grado mayor que uno).

Estos sistemas se resolverán habitualmente por sustitución. Es recomendable dibujar las ecuaciones del sistema en la medida de lo posible para hacerse una idea aproximada de la situación de las soluciones, si las hay, y por lo general lo resolveremos por sustitución

Para nuestro  caso, el problema consiste en encontrar los valores de la variable x que satisfacen la ecuación

f(x) = 0 ,

para una función f dada, que está definida y es continua en un cierto intervalo finito a < x < b. En ciertos casos se necesitará la existencia y continuidad de la primera derivada f ‘ (x) e incluso de la segunda derivada f ‘’(x).

Supondremos que la ecuación f(x) = 0   tiene únicamente raíces separadas, es decir, para cada raíz existe un entorno que no contiene otras raíces de la ecuación. El cálculo aproximado de las raíces reales separadas de f(x) = 0 se efectúa por lo general en dos etapas:

(a) separación de raíces, es decir, establecer los intervalos más pequeños posibles [a, b] que contengan una y solamente una raíz de la ecuación f(x) = 0  

 (b) mejorar los valores de las raíces aproximadas, es decir, manipularlos hasta que presenten el grado de exactitud especificado.

Recordemos antes el Teorema del Valor Intermedio:

Cuando una función es continúa en un intervalo digamos [a, b] , entonces, dado que la función no se corta en ese intervalo(salto), los valores de y que va devolviendo esa función en ese intervalo están entre  f(a)yf(b) , al menos. Es posible que suba más allá de f(a) o f(b), aunque no siempre ocurrirá, pero siempre tomará todos los valores entre esos dos límites. Eso es de lo que habla el teorema del valor intermedio.

Si f(x) es integrable en el intervalo [a,b], en cualquier punto

Si f(x)es continua en [a,b],

[pic 1]

Ejemplo: f(x)=3x2

sabemos que f(x)=3x2   es continua en todo su dominio por ser una función cuadrática, sabiendo que una función polinómica es continua en todo su domino y específicamente  en el intervalo de  [ 2,5 ]

f(2)=3(2)2=12

 f(5)= 3(5)2=75

quiere decir que la función asume todos los valores entre 12 y 75, se puede decir que existe un valor  c  perteneciente  a   [ 2,5 ]  tal que  f(c)= 48

f(c)=3c2=48 entonces 3c2 /3 = 48/3 ; c2= 16; c=+-4; c=4

se encontró que, para ese valor, si hay un valor que entre el intervalo que   su imagen es 48.

Aplicación práctica para las raíces, encontrar si una función tiene una raíz, las raíces son las soluciones o donde la función se hace cero, o se la llama también los ceros.

Ejemplo

Demuestre que   f(x)=x3 – x-2 tiene una raíz [1,2]

F(1)=13  -1 -2 = -2

F(2)=23  -2 -2 = 4

Quiere decir  que esta función por ser polinómica, es continua en todo su dominio por  tanto es continua  entre [1,2],  ella tiene  que  asumir  todos  los valores  entre -2 y 4, como  en este intervalo  está el cero podemos asegurar  que hay  un  valor f(c)=0, sabemos  si tiene un raíz, o una  solución.

Método de la bisección

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, Se basa en el teorema del valor intermedio , el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.

El método consiste en lo siguiente:

• Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
• A continuación se verifica que f(a)* f(b)<0
• Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
• En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
• Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
• Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

Pasos:

1. Elija valores iniciales inferior x1, y superior de x2, que encierren a la raíz, de forma que las funciones cambien el signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(x1)* f(x2)<0
2. Una aproximación de la raíz, se determina mediante: Xr= (x1 + x2 )/ 2
3. Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervlo ésta la raíz:

• Si f(x1) f(Xr)<0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por tanto, haga Xb = Xr y vuelva al paso 2.
• Si f(x1) f(Xr)>0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por tanto, haga Xa = Xr y vuelva al paso 2.
• Si f(x1) f(Xr) =0, entonces la raíz se iguala a Xr; y termina el cálculo.

[pic 2]Método de la bisección

Ejemplo

• Consiste en encontrar la raíz de una ecuación y en elegir un intervalo e ir dividiendo este intervalo en mitades, hasta alcanzar la precisión deseada

Se requieren tres fórmulas muy sencillas

Xr=(Xa+Xb)/2

F(Xa)*f(Xr)

Ep=| ((Xr(actual)-Xr(anterior ))/Xr(actual))/100|

Ep= es el error relativo porcentual aproximado[pic 3]

Función= x4+3x3-2   entonces f(x)= x4+3x3-2   con   error relativo porcentual de menor igual al 5%

Se debe  dar valor a la función de tal forma que exista el cambio de signo, entonces xa tomo el menor valor y xb toma el valor mayor

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