Transcripción de video: Métodos Numéricos #1: Bisección..

Viernes 10 de Junio de 2016, Ejercicio 1

Transcripción de video: Métodos Numéricos #1:   Bisección.

Para poder entender el funcionamiento de este método suponga una función en el que un punto ubicado entre “a” y “b”, existe una solución de la ecuación, así mismo en ese intervalo la función es continua, una vez hecha esta suposición tenemos que contemplar que de un lado de la función tenga signo positivo este será del punto b y por el otro lado el signo será negativo, para este ejemplo será en el punto a (que se verá en el documento Word), el objetivo es encontrar la función donde el punto vale cero, para este propósito el método numérico comienza dividendo el intervalo a la mitad para generar un nuevo punto “c”, en este caso en evaluar en la función el punto c obtenemos un signo positivo, por lo que a continuación en el método sustituye el punto c por el b y ahora el nuevo intervalo con el que trabaja es “a” y “c”, ahora se repite el paso anterior, dividiendo el intervalo “a” y “c”, dando un nuevo punto llamado “d”, como en esta ocasión al evaluar “d” el signo obtenido es negativo ahora se sustituye “a” por “d” el método repite este proceso hasta lograr llegar a dos puntos los cuales están separados a una distancia tan pequeña que prácticamente es el mismo punto en esencia, en este caso los puntos quedan representados por “n” y “m”, cuando el método llega a converger en ese punto es la solución que estamos buscando con esto solo se encontró una de las raíces posibles  pero se puede aplicar para las demás raíces delimitándolas por los demás intervalos que las contenga individualmente.  

Viernes 10 de Junio de 2016, Ejercicio 3.

Video: Método de bisección, Análisis numérico.

Este es uno de los métodos iterativos más sencillo  de fácil comprensión, utilizado para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios, el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a, b].

Bisección se aplica si f(x) continúa de un intervalo cerrado, que consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad en a, a, los procesos de cálculos es repetitivos hasta encontrar la máxima aproximación deseada, nosotros encontraremos la aproximación en “a” (grafica del video”), de la recta que pasa de positivo a negativo.

Pasos:

• Saber si f(x) sea continua
• Encontrar los valores de [a, b] luego reemplazarlos en formula f(a) y f (b) tienen que tener signos opuestos.
• Ya teniendo a y b calculamos c. [pic 1]
• Luego se evalúa f (c) consideramos lo siguiente:

1-. Si f (a) y f(c) tienen signos diferentes el intervalo se encuentra entre [a, c].

2-. Si f(a) y f(c) tienen signos iguales, entonces evaluamos f(c) y f (b) y si tienen signos opuestos el intervalo se encuentre entre [c, b].

• Calcular el error de cada incógnita f(a), f (b) o f(c).
• El proceso se repite tantas veces hasta que el error sea menor que la tolerancia .[pic 2]

Viernes 10 de Junio de 2016. Video #4.

Método de regula falsi o falsa posición.

Dada una función f(x), se pretende hallar la solución de la ecuación f(x)=0, recordando el método de bisección, está basado en el Teorema de Bolzano.

Y el teorema de  Bolzano dice:

Que dado una función f en un intervalo  definido y cerrado acotado en a y b, son los números reales continuos. De forma que f toma distintos signos en los extremos, es decir:

F(a) <0 y f (b)>0  o   f (a)>0 y f (b) <0

(Esta condición se escribirá a partir de ahora f (a) f (b) <0). Entonces existe un valor c del intervalo (a, b) en el cual f (c)=0. En otras palabras, c es una solución de la ecuación f(x)= 0.

El método de regula falsi o falsa posición  es una mejora del método de bisección, basado en el teorema de Bolzano como se pudo ver en el video 1. Se pretende calcular la solución de una ecuación de la forma f(x)=0, donde f es una función continua en [a, b] con f (a) f (b) <0. Gráficamente se halla  la recta que pasa por los puntos {a, f (a)} y {b, f (b)}. Y esa recta se halla con los puntos de abscisas con la aproximación de la raíz, una vez hallada se aproxima la solución r, por el valor que se obtiene de cortar esa recta con el eje OX, es decir, el valor que se obtiene al hacer y=0.

La recta que pasa por {a, f (a)} y {b, f (b)} tiene  como vector director.

[pic 3]

Usando ese vector director y el punto (a, f (a)), obtenemos la ecuación de la recta que viene dada por:

 [pic 4]

Y lo que se tiene que hacer después es calcular el punto de corte de esa recta con el eje OX, es decir cuándo y=0, y en este caso se obtiene el valor de m.

[pic 5]

x=[pic 6][pic 7]

Y el valor obtenido es el valor dad de m, así:

[pic 8]

El método de regula falsi consistirá en realizar iteraciones del procedimiento dado es decir:

1-. Llamamos a0=a, b0=b, de tal forma que f (a0) f (b0) <0.

2-. Para n= 0, 1, 2,3….

[pic 9]

Si f (ao) f (mo) <0     tomo y [pic 10][pic 11]

Si f (mn) f (bn) <0      tomo  y [pic 12][pic 13]

Las ventajas de este método frente a bisección:

- Este método converge más rápidamente a la solución.

-  Un extremo suele permanecer fijo.

-  El otro extremo converge a la raíz.

Inconvenientes de este método frente a bisección:

• No hay fórmula para acotar el orden como ocurría con el método de bisección.
• Para estimar el error debemos hacerlos con dos aproximaciones consecutivas del mismo, es decir [pic 14]

Lunes 13 de Junio de 2016.

Video sobre Matlab, tutorial 1.

 ¿Qué es Matlab? (1:19)

Es el nombre abreviado de MATrix LABoratory, es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado con un lenguaje de programación propia.

(Comentario: es un programa que te ayuda de forma más fácil el funcionamiento de graficar o programar algo que no se puede hacer en Excel).

Características principales (2:29)

Lenguaje de alto nivel.

Funciones matemáticas.

Gráficos integrados.

Herramientas de desarrollo.

Herramientas para la creación de aplicaciones con interfaces graficas personalizadas.

Integración con otras aplicaciones y lenguajes.

(Comentario: este programa hacer el poder realizar más eficientemente las tareas o trabajos requeridos).

...