Trabajo 1 metodos numericos.

1. INTRODUCIÓN

En muchos ámbitos de las ciencias naturales y de la ingeniería se hace necesario hallar las raíces de un polinomio o de una función en especial; en los campos de la ingeniería de control, la electrónica y las telecomunicaciones hallar los polos de la función de transferencia consiste en hallar las raíces del denominador de la función de transferencia y a partir de estas intuir aspectos fundamentales de los sistemas, tales como la estabilidad, el grado de amortiguamiento, entre otros.

Sin embargo, existen pocos métodos exactos para hallar las raíces la gran mayoría de métodos son nulos y sirven bajo ciertas condiciones o limitantes, es por esto que se hace necesario elaborar métodos que permitan aproximar o hallar números próximos a la verdadera raíz con el fin de poder ser utilizados en las diferentes disciplinas tanto científicas como ingenieriles.

La importancia de conocer estos métodos y aplicarlos en diferentes situaciones es el objetivo principal del siguiente trabajo.

2. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD.

1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.

Respuesta

En la ingeniería de alimentos es muy frecuente encontrarse con problemas matemáticos ya que en algunas ocasiones los alimentos requieren de métodos y procesos definidos y sobre todo cuantitativos. Los alimentos requieren de procesos industriales muy exactos los cuales se derivan de cálculos matemáticos que deben ser exactos, un ejemplo de este cuando necesitamos someter un alimento a una presión hidrostática definida esta debe estar en los límites adecuados ya que un pequeña alteración podría variar la inocuidad del alimento, en este punto a través del error relativo y error absoluto podemos definir si el proceso es el adecuado para el tratamiento que se requiere.

 Error absoluto:

𝐸𝑎=|𝑉r – 𝑉e|

𝐸𝑎 = error absoluto

𝑉r = valor real

𝑉e = valor experimental

 Error relativo

𝐸𝑟 = 𝐸𝑎−𝑉𝑒𝑉𝑟 ∗100

Ahora el error por truncamiento y redondeo podrían ser herramientas útiles a la hora de ajustar un principio industrial el cual puede dar resultados de muchas cifras decimales por este tipo de error ajustamos las cifras significativas y acoplamos los valores.

2. Usar el método del punto fijo para aproximar la primera raíz de 𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥−𝑒𝑥, comenzando con x0=0, con 5 iteraciones.

Solución: 𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥−𝑒𝑥=0 𝑥2+4𝑥−𝑒𝑥=0 −4𝑥=𝑥2−𝑒𝑥

𝑥=(−𝑥2+𝑒𝑥)4

Ahora, tenemos una expresión de la forma 𝑥=𝑔(𝑥), luego realizamos las iteraciones, teniendo en cuenta que hacemos 5 iteraciones:

 Para k=0, 𝑥0=0:

𝑥=(−02+𝑒0)4=14=0.25

 Para k=1, 𝑥1=0.25

𝑥=(−0.252+𝑒0.25)4≅1.22154≅0.3054

 Para k=2, 𝑥2=0.3054

𝑥≅(−0.30542+𝑒0.3054)4≅1.26394≅0.3159

 Para k=3, 𝑥3=0.3159

𝑥≅(−0.31592+𝑒0.3159)4≅1.27174≅0.3179

 Para k=4, 𝑥4=0.3179

𝑥≅(−0.31792+𝑒0.3179)4≅1.27324≅0.3183

 Para k=5, 𝑥5=0.3183

𝑥≅(−0.31832+𝑒0.3183)4≅1.27344≅03184

Las iteraciones se muestras en la siguiente tabla:

K

𝑥𝑖

0

0

1

0.25

2

0.3054

3

0.3159

4

0.3179

5

0.3183

Por tanto, la raíz aproximada será x≅0.3184, reemplazando en la ecuación, para verificar, tenemos:

𝑓(𝑥)=(0.3184)2+4(0.3184)−𝑒0.3184≅0.1013+1.2736−1.3749≅0

3. Obtener la raíz de la función 𝑓(𝑥)=2𝑥−1.3, en el intervalo [-1,1] por el método de Newton-Raphson, tomando como valor inicial X0=-1; con una exactitud de 10−5

Solución: 𝑓(𝑥)=2𝑥−1.3=0

la gráfica de la función está dada por:

Ahora, para usar el método de Newton-Raphson derivamos la función: 𝑑𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑑𝑑𝑥(2𝑥−1.3)=2𝑥𝐿𝑛2

para el método debemos tener en cuenta la siguiente formula: 𝑋𝑛+1=𝑋𝑛−𝑓(𝑋𝑛)𝑓´(𝑋𝑛)

Tomamos la primera aproximación 𝑋1=1 y hacemos las iteraciones: 𝑋2=𝑋1−𝑓(𝑋1)𝑓´(𝑋1)=1−21−1.321𝐿𝑛2=1−0.50494=0.49504 𝑋3=𝑋2−𝑓(𝑋2)𝑓´(𝑋2)=0.49504−20.49504−1.320.49504𝐿𝑛2=0.49504−0.11194=0.38310 𝑋4=𝑋3−𝑓(𝑋3)𝑓´(𝑋3)=0.38310−20.38310−1.320.38310𝐿𝑛2=0.38310−4.58109∗10−3=0.37852 𝑋5=𝑋4−𝑓(𝑋4)𝑓´(𝑋4)=0.37852−20.37852−1.320.37852𝐿𝑛2=0.37852−5.04744∗10−6=0.37851 𝑋6=𝑋5−𝑓(𝑋5)𝑓´(𝑋5)=0.37851−20.37851−1.320.37851𝐿𝑛2=0.37851

Observemos que los cambios que se presentan entre las iteraciones 4,5,6 no son significativos, por tanto, la aproximación de la raíz será: 𝑥≅0.37851

Para verificar, reemplazamos el valor en la ecuación: 𝑓(0.37851)=20.37851−1.3=−1.4627∗10−6≅0

5. Usando el método de la regla falsa aproximar la raíz de 𝑓(𝑥)=𝑒−𝑥(3.2𝑠𝑒𝑛(𝑥)−0.5cos (𝑥)) en el intervalo [0,1] con 𝜉𝑎=0.001

Solución:

La grafica de la función es:

Primero analizamos la primera condición para x=0;1: 𝑓(0)=𝑒−0(3.2𝑠𝑒𝑛(0)−0.5cos(0))=−0.5 𝑓(1)=𝑒−1(3.2𝑠𝑒𝑛(1)−0.5cos(1))=−0.1634

Luego tenemos: 𝑥𝑟1=𝑥𝑏−𝑓(𝑥𝑏)(𝑥𝑎−𝑥𝑏)𝑓(𝑥𝑎)−𝑓(𝑥𝑏)=1−−0.1634(0−1)−0.5−0.1634=1.2463

Ahora: 𝑓(1.2463)=𝑒−1.2463(3.2𝑠𝑒𝑛(1.2463)−0.5cos(1.2463))=0.8259

Probamos la condición: 𝑓(𝑥𝑟1)𝑓(𝑥𝑎)=0.8259∗(−0.5)=−0.4129

Por tanto, reemplazamos 𝑥𝑏 por 𝑥𝑟1

y calculamos el error: |𝑒|=|1.2463−11.2463|=0.1976

Como el producto es menor que cero, proseguimos,

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