METODOS NUMERICOS TRABAJO COLABORATIVO 1

METODOS NUMERICOS

TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR:

JHON FAVER AVILA BELTRAN

CODIGO: 1054680346

TUTOR:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TEGNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNAD TUNJA

2014

DESARROLLO

Leer y revisar los conceptos de error y los diversos tipos de errores para diferenciar los diversos tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado (e.r.a). error por truncamiento y por redondeo) Teniendo en cuenta la precisión y exactitud del mismo.

Error absoluto. Es la diferencia entre valor tomado como exacto y el valor de la medida. Puede ser negativo o positivo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Error relativo. Es el cociente (la división) entre el valor exacto y el error absoluto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser negativo o positivo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto no tiene unidades.

Errores de truncamiento. Se deben a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.

Por ejemplo dados los números reales

3,14159265358979...

32,438191288

6,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.

El resultado es:

3,1415

32,4381

6,3444

Errores de redondeo. Aparecen cuando se utiliza calculadora u ordenador para realizar cálculos numéricos. Se originan porque la aritmética realizada en una máquina involucra sólo un conjunto finito de dígitos para representar a los números reales.

Realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamaron “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa

Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo:

Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.

Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61.

Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad.

Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,618= 12,62.

Error relativo aproximado: se utiliza cuando no se conoce el valor verdadero y se define

ERA=(299-300)/299*100%=100%

EXACTITUD Y PRECISION

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La precisión se refiere a 1) el número de cifras significativas que representa una cantidad o 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define también como un alejamiento sistemático de la verdad. La precisión por otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento.

Los métodos números deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. También debe ser lo suficientemente preciso para el diseño en la ingeniería.

Usaremos el término de error para representar la inexactitud y la precisión de las predicciones.

FASE2

Leer y revisar los conceptos de métodos para calcular las raíces de una ecuación bisección, regla falsa, newton raphson y punto fijo Para luego realizar la comparación de los métodos

Newton Raphson

Este método es uno de los más utilizados para localizar raíces ya que en general es muy eficiente y siempre converge para una función polinomial.

Se requiere que las funciones sean diferenciables, y por tanto, continuas, para poder aplicar este método.

Se debe partir de un valor inicial para la raíz: xi, este puede ser cualquier valor, el método convergirá a la raíz más cercana.

Si se extiende una tangente desde el punto , el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

La fórmula de Newton-Raphson se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta.

Pendiente de una recta:

Mediante el método de Newton - Raphson Obtenga la raíz de la siguiente función:

f(x)=x^3+2x^2+7x-20

Se sitúa un punto inicial x_1=1

x_(i+1)=x_i-f(x_i )/f^'(x_i )

f^'(x) =3x^2+4x+7

Iteración 1 x_2=1-(1^3+2(1)^2+7(1)-20)/(3(1)+4(1)+7)=1-(1+2+7-20)/(3+4+7)=1-((-10)/14)=1+0,714285= x_2= 1,714285

f(1,714285)=〖1,714285〗^3+〖1,714285〗^2+7(1,714285)-20

f(1,714285)=2,9154357

Dado que |2,9154357|>0,001se continua iterando para mejorar la solución.

Iteración 2

x_3=1,714285-(〖1,714285〗^3+〖1,714285〗^2+7(1,714285)-20)/(3(1714285)^2+4(1714285)+7)

x_3=1,714285-2,9154357/22,67345918

x_3=1,714285-0,1285836303

x_3=1,585701369

f(1,585701369)=〖1,585701369〗^3+〖1,585701369〗^2+7(1,585701369)-20

f(1,585701369)=01159722009

Dado que |01159722009|>0,001se continua iterando para mejorar la solución.

Iteración 3:

x_3=1,585701369-(〖1,585701369〗^3+〖1,585701369〗^2+7(1,585701369)-20)/(3(1,585701369)^2+4(1,585701369)+7)

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