Metodos Numericos Actividad 1

EJERCICIOS

1. Diferenciación Numérica: aplicar las reglas de diferenciación numérica para resolver cada uno de los siguientes problemas. (Aspecto a evaluar: #1 Diferenciación Numérica.)

a) En el proceso de subducción de las placas tectónicas, la velocidad v (cm/año) del hundimiento de una placa tectónica bajo otra placa es medida en y centímetros.

[pic 1]

Los siguientes datos corresponden a la velocidad de hundimiento a diferentes profundidades

[pic 2]

El esfuerzo cortante EC sobre la región donde las placas se tocan se pueden calcular mediante la ley de viscosidad de Newton:

[pic 3]

Donde k se conoce como el coeficiente de viscosidad dinámica que para este caso corresponda a  . El EC sobre la superficie inicial de contacto y = 0 usando la regla progresiva de 5 puntos[pic 4]

[pic 5]

 
[pic 6]

b) En un ejercicio naval, un barco S1 es perseguido por un submarino S2 como se muestra en la siguiente figura.

[pic 7]

El submarino S2 mantiene al barco S1 en contacto visual, indicado por la línea punteada L en la figura mientras viaja con una rapidez un 20 % mayor que el barco. Sí el barco inicia en el sistema de coordenadas de la gráfica (1,0) y suponiendo que L es tangente a C, se obtiene la ecuación diferencial:

[pic 8]

Usando los siguientes datos:

[pic 9]

Calcule la primera derivada regresiva de cinco puntos en x = 1 y determine el valor de la constante c.

[pic 10]

Reemplazamos en

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

c) Las cargas críticas de columnas delgadas dependen de las condiciones de extremo de columna. Suponga que una columna vertical homogénea delgada está empotrada en su base (x = 0) y está libre en su parte superior (x = L) y que se aplica una carga axial constante P en su extremo libre. Esta carga causa una deflexión pequeña δ como se muestra en la siguiente imagen.

[pic 15]

Teniendo en cuenta que la ecuación diferencial asociada al sistema corresponde a:

[pic 16]

Determine el valor de la carga axial P para una varilla de acero de 3 metros sobre la cual se está generando un δ=0.08 metros. Usando las siguientes mediciones:

[pic 17]

 Calculando la segunda derivada en x = 2,00 teniendo como referencia que el valor EI=184, usando la regla central de 5 puntos.

[pic 18]

Reemplazamos en

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

2. Integración Numérica: utilizar las reglas de integración numérica para dar respuesta a cada uno de los problemas. (Aspecto a evaluar: #2 Integración Numérica.)

a) El flujo promedio Q m3/s  de un canal irregular como se presenta en la siguiente gráfica

[pic 22]

Se obtiene mediante la operación

[pic 23]

donde y(m) es la distancia que hay desde uno de los extremos del canal hasta el extremo opuesto 10. Las funciones H(y) y U(y) determinan la profundidad (m) y la velocidad del agua (m/s), respectivamente. Usar el método del trapecio para aproximar el flujo promedio usando los siguientes datos

[pic 24]

[pic 25]

En este caso

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

b) El excedente del consumidor se considera la diferencia existente entre la cantidad máxima que un consumidor está dispuesto a pagar por una cantidad determinada de un bien y lo que en la realidad paga por una cantidad determinada de ese bien. Dicho valor se puede obtener mediante la operación:

[pic 31]

Donde Q es la cantidad de artículos que está dispuesto a pagar la persona por un precio P(Q). Los valores P0 y Q0 son dados pues corresponde al precio de equilibrio y a la cantidad de equilibrio. Para una importante empresa de televisores, se estima que a un precio de P0 = 371 USD, se venden  artículos en un mes. Teniendo en cuenta los siguientes valores, calcular el EC con los siguientes datos y aplicando la regla de 1/3 de Simpson.[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

c) Un modelo para el tiempo (en meses) que tarda un tumor en aumentar desde un volumen inicial V0 hasta un volumen V1 (en mm3 ), corresponde al expresado por la ecuación de Gompertz:

...