Calculando el volumen

Resuelve los siguientes problemas escribiendo tu procedimiento completo.

1. El volumen de un prisma triangular regular es de 100 cm3. ¿Cuánto debe medir el lado de la base para que su superficie total sea la menor posible?

El área del triángulo  es igual a:

At = (a2) / 2

Calculando el volumen  

V = b x (a2) / 2 = 100 cm3

Sumamos las áreas de las dos bases

2 x (At) = 2x (a2) / 2 = a2

Sumamos las tres caras rectangulares de los lados del prisma

(3) (a) (b)

De esta manera modo la expresión nos quedaría como:

T = a2 + (3)(a)(b)

Derivando "T" respecto a "a", con "b" como constante, se obtiene:

dT/da = 2a + 3b.

Igualamos a cero la expresión y despejamos "a",

2a + 3b = 0

a = -3b/2

 Sustituyendo

V = 100 cm3 = b*(a2) / 2 , pero como a = -3b/2, sustituimos como:

100 = (b/2)*(-3b/2)2

Simplificando

100 = (9/8)*b3

b = 4.46 cm

calculando el valor de "a" a partir del volumen del prisma:

100 = (b/2)*(a2) sustituyendo b = 4.46:

100 = (4.46/2) * (a2)

a = 6.69 cm el cual representa el valor de "a" necesario para que "T" sea el mínimo posible.

Calculamos T:

S = a2+ 3ab = 4.462 + 3*4.46*6.69 = 134.26 cm2

1. Un barco está anclado a 9 km del punto más próximo de la orilla, se necesita enviar un mensajero a un campamento situado en ésta. La distancia entre el barco y el campamento es de 15 km. Teniendo en cuenta que el mensajero, una vez que llega a la playa, recorre a pie 5 km por hora y remando en un bote 4 km por hora, ¿en qué lugar debe desembarcar para llegar al campamento lo más pronto posible?

La distancia que recorre remando será la que está en color rojo.

[pic 2]

La distancia que recorre a pie es la parte en azul del lado derecho.

[pic 3]

Sabemos que para calcular la velocidad de un móvil se usa la fórmula siguiente:

[pic 4]

Por ello el tiempo que rema será:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Por otro lado, el tiempo que anda a pie es:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Por lo tanto, el tiempo total que tarda el mensajero en llegar de un lugar a otro está dado por la función:

[pic 12]

[pic 13]

Derivando para encontrar los puntos de inflexión nos queda que:

[pic 14]

[pic 15]

Multiplico todo por 20 e igualo a cero:

[pic 16]

[pic 17]

Hago la suma:

[pic 18]

[pic 19]

Elevo al cuadrado para quitar la raíz:

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Encuentro el valor de x despejándola. Tomando en cuenta que x está entre cero y 15.

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Ahora, ya que encontré el punto de inflexión debo asegurarme que se trata de un mínimo, para eso usaré la segunda derivada y esta debe ser mayor a cero.

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Ahora sustituyo x=12

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

x vale 12 por lo que debe desembarcar a 3km del campamento.

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