Calcule el ángulo de los enlaces

EN LA MOLÉCULA DEL METANO, CH4, CADA ÁTOMO DE HIDRÓGENO ESTA EN LA ESQUINA DE UN TETRAEDRO REGULAR CON EL ÁTOMO DE CARBONO EN EL CENTRO. EN COORDENADAS EN LAS QUE UNO DE LOS ENLACES C-H ESTE EN LA DIRECCIÓN DE i-j-k, un enlace C-H ADYACENTE ESTA EN LA DIRECCIÓN i+j+k.

CALCULE EL ÁNGULO DE LOS ENLACES.

Lo más complicado del problema ya lo ha resuelto --quien haya formulado el problema-- cuando dice que los enlaces están orientados de modo que las direcciones de dos de ellos están alineadas (es decir, son colineales) con los vectores [ 1 1 1 ] y [ 1 −1 −1 ].

Lo que resta es solo obtener el ángulo entre estos dos vectores, algo que no representa mayor dificultad. Por definición, el producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos, multiplicado a su vez por el coseno del ángulo subtendido entre los dos vectores: | A • B | = | A | | B | cos θ.

De aquí, es fácil encontrar el ángulo θ; solo hay que despejar cos θ, y después encontrar el ángulo correspondiente:

cos θ = | A • B | / | A | | B |

θ = arccos ( | A • B | / | A | | B | )

En este caso, evidentemente, A = [ 1 1 1 ]; B = [ 1 −1 −1 ]. El orden puede invertirse sin que el resultado se altere en lo más mínimo. El producto escalar arroja

[ 1 1 1 ] • [ 1 −1 −1 ] = 1 − 1 − 1 = −2.

Ambos vectores tienen igual módulo: √ 3:

| [ 1 1 1 ] | = √ (1² + 1² + 1² ) = √ 3

| [ 1 −1 −1 ] | = √ [1² + (−1)² + (−1)² ] = √ 3.

Por lo tanto,

► θ = arccos ( −2 / 3 ) ≈ 109.47°.

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