Calculo Avanzado Metodo De Las Exactas

Universidad Nacional de Tucumán

Facultad Regional de Tucumán

Calculo avanzado

Monografía

“Método de las exactas”

Ecuaciones Exactas

Ahora veremos la resolución de ecuaciones exactas a través de su método correspondiente. Es importante señalar que este método se basa en el concepto del diferencial total de una función así como en la forma diferencial exacta de una ecuación diferencial, por lo que será importante definir primero dichos conceptos.

Recuerde que la ecuación diferencial de primer orden:

dy/dx=f(x,y)

También puede expresarse en la forma diferencial:

M(x,y)dx+N (x,y)dy=0

Ejemplo:

La Ec. Diferencial: dy/dx=(3x^2-y)/(x-1)

puede expresarse así:

(y-3x^2 )dx+(x+1)dy=0

DEFINICION Diferencial total de una función

Recuerde que existe el concepto llamado diferencial total de una función expresado como: dF(x,y) , mismo que se define mediante:

dF(x,y)=(∂F(x,y))/∂x dx+(∂F(x,y))/∂y dy

donde dx y dy son incrementos arbitrarios.

DEFINICION Forma diferencial exacta.

Se dice que la forma diferencial:

M(x,y)dx+N(x,y)dy

es exacta, si existe una función F(x,y) tal que :

∂F/(∂x ) (x,y)=M(x,y) ∂F/∂y (x,y)=N(x,y)

Dicho de otra manera, la forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy es exacta si y solo si proviene de aplicar el diferencial total a una función F(x,y)

DEFINICION Ecuación diferencial exacta.

Si M(x,y)dx+N(x,y)dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuación diferencial expresada como M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se llama ecuación diferencial exacta.

Ejemplo:

La ecuación y.dx+x.dy=0 es exacta, ya que:

d(x,y)=y.dx+x.dy

es la diferencial total de F(x,y)=x.y ,

Ahora la pregunta debe ser, y cómo puedo verificar si una ecuación diferencial es exacta? El criterio de exactitud nos puede ayudar.

Criterio de exactitud

Supóngase que las primeras derivadas parciales de M(x,y) y N(x,y) son continuas

en un rectángulo R.

Entonces: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

es una ecuación exacta en R si y sólo si

∂M/∂y (x,y)=∂N/∂x(x,y)

para todo (x,y) en R.

Método para resolver ecuaciones exactas

Paso 1.

Si M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es una ecuación diferencial exacta, entonces

a)∂F(x,y)/∂x M(x,y) b)(∂F(x,y))/∂y=N(x,y)

Observe que ambos incisos son verdaderos desde el momento en que la ecuación es exacta. Tomaremos como referencia solo uno, en este caso será el inciso a).

Recuerde que en todo momento

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