Calculo Diferencial Explicacion

Función logarítmica

Sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a se define como:

y=〖log〗_a (x) si y solo si x=a^y

para todo x>0 y todo número real y.

Las dos ecuaciones de la definición son equivalentes. La primera se llama forma logarítmica y la segunda, forma exponencial. Debes esforzarte en dominar la conversión de una en otra. El diagrama siguiente puede ayudarte a alcanzar esta meta.

Forma logarítmica Forma exponencial

Exponente

y=〖log〗_a (x) x=a^y

Base

Observa que cuando las formas se cambian, las bases de las formas logarítmica y exponencial son las mismas. El número y (o sea, 〖 log〗_a (x) ) corresponde al exponente en la forma exponencial; en otras palabras, 〖log〗_a (x) es el exponente al que la base debe elevarse para obtener x.

Una gráfica la función 〖f(x)=log〗_2 (x), se muestra en la figura de abajo.

Podemos observar dos puntos claves que siempre aparecerán en las gráficas de logaritmo.

El punto (1, 0) viene de:

〖f(1)=log〗_2 (1) cuya forma exponencial es 2^(f(1))=1 el único número que satisface la ecuación es: f(1)=0.

El punto (2, 1) viene de:

〖f(2)=log〗_2 (2) cuya forma exponencial es 2^(f(2))=2 el único número que satisface la ecuación es: f(2)=1.

Ejemplo 1

Ejemplos de formas equivalentes:

Forma logarítmica Forma exponencial

〖log〗_5 (u)=2 u=5^2

〖log〗_b (8)=3 8=b^3

〖r=log〗_p (q) q=p^r

〖w=log〗_4 (2t+3) 2t+3=4^w

〖log〗_3 (x)=5+2z x=3^(5+2z)

Ejemplo 2.

La cantidad N de bacterias de cierto cultivo después de t horas está dada por N=(1000)2^t. Expresa t como una función logarítmica.

Solución.

Dado N=(1000)2^t

Aislamos la expresión exponencial N/1000=2^t

Ahora cambiamos a la forma logarítmica:

〖t=log〗_2 (N/1000)

Función logaritmo natural y logaritmo común.

La importancia del número e, también genera logaritmos en base a este número, el cual se llama logaritmo natural y se define como:

ln(x)=〖log〗_e (x)

Nota que log es sustituido por ln y la notación de la base desaparece.

Así mismo debido a la notación científica en base 10 y su diversidad de aplicaciones, se genera el logaritmo en base 10, el cual se llama logaritmo común y se define como:

log(x)=〖log〗_10 (x)

Nota que la notación de la base desaparece.

Ejemplo 3.

Ejemplos de formas equivalentes:

Forma logarítmica Forma exponencial

log⁡(x)=2 〖10〗^2=x

log⁡(z)=y+3 〖10〗^(y+3)=z

ln⁡(x)=2 e^2=x

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