Carpeta Matemática - Suma Infinita

Suma Infinita

En esta carpeta matemática se investigará la suma de progresiones infinitas. Para iniciar la investigación algunos términos serán aclarados. Una progresión numérica es una sucesión de números, posicionados uno tras otro y que deben seguir un cierto orden. Existen dos tipos de progresiones, geométricas y aritméticas, si cada término se calcula a través de la multiplicación del termino anterior por una cantidad fija (razón “r”), entonces se le llama progresión geométrica, pero si cada término se calcula a través de la suma del termino anterior con una cantidad fija (diferencia “d”), entonces se le llama progresión aritmética.

Ejemplo:

1 5 10 15 20 25 …

+5 +5 +5 +5 +5

Se puede afirmar que esta es una progresión aritmética infinita donde la d=5. Los términos o valores de una sucesión están dados por la nomenclatura U_n, donde U representa un término y n indica la posición de este en la sucesión.

Entonces podemos afirmar que en la anterior progresión aritmética se cumple:

U_0=1

U_1=5

U_2=10

U_3=15

U_4=20

U_5=25

…

Si todos los valores U_n de esta o cualquier otra progresión infinita se sumaran, el resultado sería ∞, y a esto se le llama suma infinita.

Importante es aclarar que además de las progresiones geométricas y aritméticas existen otras progresiones que no cumplen con las características de ninguna de las anteriores, sin embargo no dejan de ser progresiones ya que cada uno de sus términos cumple con una misma regla (fórmula), este es el caso de las progresiones que se trabajaran en esta carpeta matemática.

Ahora se pasará a la investigación de la suma de progresiones infinitas, donde:

t_0=1,t_1=((x ln⁡〖a)〗)/1,t_2=〖(x ln⁡〖a)〗〗^2/(2×1),t_3=〖(x ln⁡〖a)〗〗^3/(3×2×1)…,t_n=〖(x ln⁡〖a)〗〗^n/n!…

n! es la notación factorial, esta se define de la siguiente manera:

n!=n(n-1)(n-2)…3×2×1

Ejemplo: 8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320

En la primera etapa de la investigación se tomara en cuenta la progresión general con valores fijos para x que siempre tomará el valor de 1; y a será una variable.

En la siguiente progresión de términos el valor de x, como dicho anteriormente, será fijo (x=1), mientras que a la variable a se le dará el valor de 2 (a=2). La fórmula para la siguiente progresión de términos sería:

1,((ln⁡〖2)〗)/1,〖(ln⁡〖2)〗〗^2/(2×1),〖(ln⁡〖2)〗〗^3/(3×2×1)…

El siguiente paso es calcular la suma S_n de los primeros n términos de esta progresión para 0≤n≤10. Si bien la indicación pide aproximar las respuestas a seis cifras decimales, en toda esta carpeta matemática se tomaran en cuenta diez cifras decimales para tener datos más exactos, es decir que sean más cercanos al valor verdadero.

Para calcular la suma S_n primero obtenemos los primeros términos de la progresión:

= = 1.0000000000

= = 0.6931471806

= = 0.2402265070

= = 0.0555041087

= = 0.0096181291

= = 0.0013333558

= = 0.0001540353

= = 0.0000152527

= = 0.0000013215

= = 0.0000001018

= = 0.0000000071

Entonces la suma de los primeros n términos de esta progresión para 0≤n≤10 será:

S_10=1.0000000000+0.6931471806+0.2402265070+0.0555041087+0.0096181291+0.0013333558+0.0001540353+0.0000152527+0.0000013215+0.0000001018+0.0000000071

Los datos obtenidos serán organizados en una tabla para poder apreciarlos mejor:

Tabla 1: Relación entre términos y su suma

x=1 a=2

Posición Términos Suma

n t_x S_n

0 1.0000000000 1.0000000000

1 0.6931471806 1.6931471806

2 0.2402265070 1.9333736875

3 0.0555041087 1.9888777962

4 0.0096181291 1.9984959253

5 0.0013333558 1.9998292811

6 0.0001540353 1.9999833164

7 0.0000152527 1.9999985691

8 0.0000013215 1.9999998907

9 0.0000001018 1.9999999925

10 0.0000000071 1.9999999995

Se puede observar que los valores de la suma se van acercando cada vez más al valor de a (2). A partir de los datos de esta tabla se graficará un gráfico de dispersión que relacionará la suma S_n de los términos y n para poder entender la convergencia.

Gráfico 1: Relación S_n y n

Para llegar a una conclusión se tiene que repetir este proceso pero asignándole diferentes valores a la variable a.

En el grafico se puede observar que los puntos en la gráfica ascienden en el eje y a medida que n aumenta, pero desde n=3 a simple vista parece que estos se mantienen sobre S_n=2, esto se debe a que a partir de n=3 el valor de la suma aumenta en una mínima cantidad pues los valores o términos son decimales tan pequeños que el aumento no se logra percibir en el gráfico. Entonces podemos afirmar que la suma S_n de los términos es siempre convergente a 2 y que, en este caso, los valores de t_n se reducen a medida que el valor de n aumenta. Por lo tanto, la suma de los términos se acerca a 2 a medida que n tiende a ∞. Y es por esto que se puede afirmar que:

Esta es la conclusión que se podría sacar de la anterior progresión pero para poder afirmar que esta es una regla que siempre se cumple es necesario aplicarla con otras progresiones y ver si también se cumple.

Ahora se considera otra progresión de términos, donde el valor de x sigue siendo fijo (x=1), mientras que, a diferencia de la anterior progresión, a toma el valor de 3 (a=3).

1,((1 ln⁡〖3)〗)/1,〖(1 ln⁡〖3)〗〗^2/(2×1),〖(1 ln⁡〖3)〗〗^3/(3×2×1)…

Y se repite el procedimiento anterior, se calcula la suma S_n de los primeros n términos de esta progresión para 0≤n≤10. Se vuelven a tomar en cuenta diez cifras decimales para más precisión.

Para calcular la suma S_n primero obtenemos los primeros términos de la progresión:

t_0=〖(ln⁡〖3)〗〗^0/0!=1.0000000000

t_1=〖(ln⁡〖3)〗〗^1/1!=1.0986122887

t_2=〖(ln⁡〖3)〗〗^2/2!=0.6034744804

t_3=〖(ln⁡〖3)〗〗^3/3!=0.2209948267

t_4=〖(ln⁡〖3)〗〗^4/4!=0.0606969081

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