Casos de factoreo

CASOS DE FACTOREO

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.

Factor común

Resolver un caso de factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común de un Monomio

El factor común de un monomio se puede encontrar por simple inspección. Ejemplo:

15ab= 3.5.ab

a2+2a= a(a+2)

10a2-5a+15a3= 5ª(2a-1+3a3)

Factor común de un polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. Ejemplo:

1) x(a+b)+m(a+b)= (a+b)(x+m)

2) 2x(a-1)-y(a-1)= (a-1)(2x-y)

3) m(x+2)+x+2 = m(x+2)+1(x+2)=(x+2)(m+1)

Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Ejemplo:

1) 2y + 2j + 3xy + 3xj = (2y + 2j) (3xy + 3xj) = 2(y + j) + 3x (y + j) = (2 + 3x) (y + j)

2) 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b = (2ax - ay + 5a) + ( 2bx - by + 5b )

= a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 ) = ( 2x -y +5 )(a + b)

3) 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz

= a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z) = (17x +3y +7z)(a – m)

Diferencia de cuadrados perfectos

Se extrae la raíz cuadrada del minuendo y el sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo. Ejemplo:

1) 16x2-25y2 = (4x + 5y2) (4x - 5y2)

2) a2 - b4 = (a/2 - b2/3) (a/2 + b2/3)

4 9

3) a2n – 9b4m = (an + 9b2m) (an - 9b2m)

Trinomio cuadrados perfectos

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir, cuando es el producto de dos factores iguales.

Un trinomio es cuadrado perfecto, cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.

Para operar un cuadrado perfecto, se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplo:

1) m2+2m+1 = (m+1)2

2) (5x + 3y)2 = 25x2 – 30xy + 9y2

3) 4x2 - 20xy + 25y2 = (2x – 5y)2

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio. Como último paso se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos. Ejemplo:

1) X4 + x2y2 + y4 = X4 + x2y2 + y4

+ x2y2 - x2y2

= X4 +2 x2y2 + y4 - x2y2 = (X4 +2 x2y2 + y4) - x2y2

= (x2+y2)2 – x2y2 = (x2 + y2 + xy)( x2 + y2 - xy)

= (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2)

2) 4a4 + 8a2b2 + 9b4 = 4a4 + 8a2b2 + 9b4

= +4a2b2 – 4a2b2

= 4a4 +12a2b2 +

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