Caída Exponencial

1. Introducción

En los circuitos que hemos analizado hasta este momento hemos supuesto que todos los parámetros eléctricos son constantes en el tiempo, el voltaje, la corriente, la resistencia y la potencia son independientes del tiempo. Pero en el simple acto de cargar o descargar un capacitor se encuentra una situación en la que las corrientes, los voltajes y las potencias sí cambian con el tiempo.

Muchos dispositivos importantes incorporan circuitos en los que un capacitor se carga y descarga alternativamente, desde un pequeño radio de mana pasando por instrumentos o mecanismos de gran precisión.

Por tal razón, resulta importante comprender lo que pasa en los circuitos de resistencias – condensadores, (RC), circuitos que tiene gran importancia

práctica.

Formulas y teorías a emplear.

Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica y carga eléctrica. Para hacer un capacitor, basta aislar dos conductores uno del otro. Para almacenar energía en este dispositivo hay que transferir carga de un conductor al otro, de manera que uno tenga carga negativa y en el otro haya una cantidad igual de carga positiva. Debe realizarse trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de potencial resultante entre los conductores, y el trabajo efectuado se almacena como energía potencial eléctrica.

Cuando el capacitor está cargado hay cargas de igual magnitud Q y signo opuesto en los dos conductores, y el potencial Va-b del conductor con carga positiva con respecto al que tiene carga negativa es proporcional a Q. La capacitancia C se define como la razón de Q a Va-b. La unidad del SI para la capacitancia es el faradio.

Un faradio es la capacidad de un conductor tal que cargado con una carga de un culombio, adquiere un potencial electrostático de un voltio. Su símbolo es F.

Para un capacitor en particular, la razón entre la carga de cada conductor y la diferencia de potencial entre los conductores es una constante llamada capacitancia. La capacitancia depende de las dimensiones y las formas de los conductores y del material aislante entre ellos. Matemáticamente la capacitancia eta expresada así:

C=Q/V_(a-b)

Cuanto mayor es la capacitancia C de un capacitor, mayor será la magnitud Q de la carga en el conductor de cierta diferencia de potencial dada Va-b, y, por lo tanto, mayor será la cantidad de energía almacenada.

Carga de un capacitor

Partiendo de que la carga del condensador es igual a cero, se presenta el siguiente circuito:

Un circuito como éste, que tiene un resistor y un capacitor conectados en serie, se llama circuito R-C. Se comienza con el capacitor descargado, después, en cierto momento, se cierra el interruptor, lo que completa el circuito y permite que la corriente comience a cargar el capacitor.

Si aplicamos la Ley de Kirchhoff en el primer circuito, al estar el interruptor abierto y el potencial en el capacitor cero, el diferencial de potencial en la resistencia es igual al de la batería:

V_B-V_(a-b)+V_(b-c)=0 (1)

V_B=V_(a-b) (2)

El potencial eléctrico en cada componente está dado por las siguientes expresiones:

V_(a-b)=IR V_(b-c)=Q⁄C

Remplazando en la ecuación (1)

V_B-IR-Q⁄C=0 (3)

Al despejar I de la ecuación (3), tenemos:

I=V_B/R-Q/RC (4)

En el momento t=0, la carga del condensador es igual a cero, aplicado en la ecuación anterior, vemos que la corriente es igual al cociente de la tensión de la batería sobre el valor de la resistencia. En este momento la corriente es máxima, conforme el condensador se va cargando, la corriente va disminuyendo hasta llegar a cero, en este instante se tiene que:

V_B/R=Q_f/RC

〖⟹ Q〗_f=〖C×V〗_B

Siendo Qf el valor de la carga final del condensador.

Al final vemos que la carga del condensador no depende de la resistencia.

Si expresamos la intensidad como:

I=dQ⁄dt

Y esta la aplicamos a la ecuación (4)

dQ/dt=V_B/R-Q/RC=-(Q-CV_B)/RC

dQ/(Q-CV_B )=-dt/RC

Integrando en ambas partes;

∫_0^Q▒〖dQ/(Q-CV_B )=-∫_0^t▒dt/RC〗 (5)

ln⁡〖((Q-CV_B)/(-CV_B ))=-t/RC〗

Aplicamos el logaritmo inverso y luego despejamos a Q:

(Q-CV_B)/(-CV_B )=e^((-t)⁄RC)

Q=CV_B (1-e^(-t⁄RC) )

⟹ Q=Q_f (1-e^(-t⁄RC))

Descarga de un capacitor

Ahora suponga que después de que el capacitor ha adquirido una carga Q0, se retira la batería del circuito R-C y se conectan los puntos a y c a un interruptor abierto, después se cierra el interruptor y comienza la descarga del capacitor a través del resistor y su carga disminuye finalmente a cero.

Si analizamos y aplicamos la ecuación (4) para este circuito, y teniendo en cuenta

...