Ceros y raices de la funcion

Ceros y raíces de la función 

Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.

Raíces

Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.  Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

Ejercicio 1:

función polinómica:

f(x) = 2x3 + 7x2 - 7x - 12

Y nos piden hallar los ceros. Los ceros o raíces de una función son las "x" para las cuales la "y" (ó f(x)) vale cero. Es decir: son los números a los cuales, si le aplicas la función, el resultado dá cero. Se pueden hallar "igualando a cero" la fórmula de la función, que es lo mismo que "reemplazar por cero" a la "y" o a f(x) de la fórmula:

2x3 + 7x2 - 7x - 12 = 0

Ejercicio 2:

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12

Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3

Teoremas del factor y del residuo 

• Algoritmo de la división. Para cada polinomio [pic 1] de grado mayor o igual a uno y para cada número [pic 2], existe un polinomio único [pic 3] de un grado menor que el de [pic 4] y un número único R, tal que:

[pic 5].
Al polinomio [pic 6] se le denomina cociente, [pic 7] en el divisor y R es el residuo.

• Teorema del residuo. Si [pic 8] es el residuo de dividir el polinomio [pic 9] entre [pic 10], entonces [pic 11].

Demostración.
Como [pic 12] por el algoritmo de la división, se tiene que si [pic 13], [pic 14].
O sea, [pic 15].

Ejemplo 1:
Hállese el residuo de dividir el polinomio [pic 16] entre [pic 17].
[pic 18] se puede escribir como [pic 19], por tanto [pic 20].
[pic 21].
[pic 22].
O sea que el residuo es 2.

•  Teorema del factor. Si [pic 23] es un cero del polinomio [pic 24], entonces [pic 25] es un factor de [pic 26].

Demostración.
Si [pic 27] es un cero de [pic 28], [pic 29].
Pero por el algoritmo de la división [pic 30].
Como [pic 31], [pic 32].
Por tanto, [pic 33] y [pic 34].

Ejemplo 2:
Use el teorema del factor para probar que [pic 35] es un factor de [pic 36].
[pic 37], así [pic 38].
[pic 39].
Luego –1 es un cero de [pic 40].
Así [pic 41] es un factor de [pic 42].

Division sintetica 

La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio [pic 43] de grado[pic 44], por un polinomio de la forma [pic 45], con [pic 46], a partir de los coeficiente de [pic 47] y el cero de [pic 48]. 

Ejemplo 1 :
Sean [pic 49] y [pic 50] polinomios tales que: [pic 51].
Usando división sintética, determine el cociente [pic 52] y el residuo [pic 53] que se obtiene al dividir [pic 54] por [pic 55]. 
Solución

Ordenando [pic 56] en forma desendiente de acuerdo a su grado, se obtiene:
[pic 57], y realizando la división se tiene:

[pic 58]

Por lo que [pic 59] o sea [pic 60] y [pic 61]
Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, debem escribirse.

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