Cinematica

Introducción

En el mundo que nos rodea existen muchos ejemplos de movimientos en rotación, desde las moléculas hasta las galaxias. El estudio de la rotación puede simplificarse mediante analogías que existen entre el movimiento lineal y el movimiento de rotación. Algunos sistemas que giran con respecto un eje, lo hacen de tal forma que la distancia entre dos partículas cualesquiera, que forman parte del mismo, no se modifica. Un sistema de este tipo se denomina cuerpo rígido.

Cinemática rotacional

La cinemática describe el comportamiento de los objetos sin importar sus causas. Emplea variables como: tiempo, posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Cuando los objetos se mueven en trayectorias circulares, su posición en función del tiempo puede ser definida utilizando el ángulo medido a partir del eje x positivo, en sentido antihorario.

Las cantidades de la cinemática para un movimiento circular, están dadas por:

Desplazamiento angular : Δ⊖ = ⊖f - ⊖i , es medido en radianes. Se puede calcular como la integral w dt.

Velocidad angular(w): dq/dt . Si la velocidad angular es constante se calcula como ω = 2 pi/T, done T es el periodo medido en segundos. Su unidad es rad/s. También se puede calcular como la integral a dt.

Rapidez (vs): vs = ω R. Su unidad es m/s.

Aceleración angular (α): α= dω/dt. Su unidad es rad/s2.

Aceleración tangencial (aT): aT =α R. Su unidad es m/s2.

Aceleración radial (ar): ar = V 2 / R. Su unidad es m/s2.

Otras definiciones importantes:

• Periodo ( T): Tiempo que tarda en dar una vuelta un objeto. SE mide en segundos.

• Frecuencia (f): Número de vueltas que realiza el objeto en un segundo. e mide en Hertz (Hz)

Ejercicios:

a) La posición angular de un objeto que se mueve en una pista circular es dada por ⊖ = 3t +2 rad. Determine la velocidad angular con que gira el objeto y su aceleración angular.

Solución:

ω = d⊖/dt = 3 rad/s R/ La velocidad angular es de 3 rad/s.

α = dω/d t = 0 R/ La aceleración angular es 0 rad/s2.

b) Un disco gira tal que la posición de una marca en su interior gira con ω = 20 rad/s. Determine, cuantas vueltas dará en un minuto.

Solución:

Δ⊖ = ≀ ω dt = 20 * 60 = 120 rad

No. vueltas = 120/ pi = 38.2 vueltas

R/ En un minuto dará 38.2 vueltas

Energía cinética rotacional

La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada este la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitara más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular.

Esto puede ser ilustrado por el siguiente experimento: dos esferas de idéntica masa y radio se colocan sobre un plano inclinado. Una de las esferas esta hecha de un material ligero, como el plástico. Esta esfera es maciza y sólida. La otra esfera, en cambio, es hueca y esta hecha de un material más denso que el plástico. La esfera hueca rodará más lentamente, ya que toda su masa se acumula en una delgada capa, que está a una cierta distancia del eje de rotación. La esfera maciza se moverá más rápidamente, ya que porcentualmente sus partículas se encuentran más cerca del eje de rotación y por lo tanto se moverán más lentamente, puesto que éstas describen una trayectoria más corta que las partículas de la superficie de la esfera.

La energía rotacional es, entre otras cosas, de gran importancia para: turbinas, generadores, neumáticos y ruedas, ejes, hélices.

Momento de inercia

Un cuerpo que rota en torno al eje x con velocidad angular posee la energía rotacional:

Donde:

• : Momento de inercia del cuerpo en torno al eje x.

• : Velocidad angular

En general, esto se puede expresar como:

Donde:

• : Tensor de inercia

• : Velocidad angular

Para calcular la energía de un cuerpo que rota en torno a un eje arbitrario (vector unitario ), la velocidad angular se expresará por sus componentes vectoriales:

donde

en el cual los componentes de n que representa los componentes de la dirección del eje de x,y y z. La energía de rotación es ahora:

Aquí es el momento de inercia respecto a un eje arbitrario

Ejemplo

Un cuerpo que gira alrededor de la diagonal formada por su superficie xy tiene la siguiente velocidad angular:

mit

En consecuencia, el momento de inercia respecto a este eje:

Ahora uno obtiene la energía rotacional:

Momento angular

La energía rotacional se puede expresar a través del momento angular:

donde

Cabe señalar que, en general, el momento angular y la velocidad angular no son paralelas entre sí (excepto en la rotación alrededor de un eje principal de inercia).

FUNDAMENTO

Consideremos un movimiento circular uniformemente variado cuya aceleración angular tiene el valor . Puede establecerse la relación entre , la velocidad angular  y el espacio angular recorrido  a partir de la definición de :

Si en el instante que tomamos como  = 0 la velocidad angular es 0, la integración de la ecuación anterior conduce a la relación cinemática entre , , y  (ecuación [1]).

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