Coeficiente Exoerimental

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Modelo dina´mico de friccio´n: un enfoque para identificacio´n y control

Juan C. Mart´ınez-Rosas, Luis Alvarez-Icaza y Daniel Noriega-Pineda

Resumen—Se  presenta  un  novedoso  modelo  dina´mico  para describir  la  fuerza  de  friccio´n  entre  dos  cuerpos  en  contacto. Este  modelo  es  una  extensio´n  del  popular  modelo  de  friccio´n LuGre. La diferencia principal con respecto al modelo LuGre y  otros  modelos  similares  radica  en  la  descripcio´n  del  efecto Stribeck, el cual, ahora es modelado con una ecuacio´n diferencial no  lineal  de  primer  orden.  Esta  formulacio´n  representa  a  un modelo dina´mico de segundo orden que preserva la base intuitiva de su precusor, reproduciendo el mismo comportamiento en estado pseudo-estacionario, y ofrece propiedades de pasividad equivalentes. La principal ventaja con respecto a otros modelos de friccio´n reside en la posibilidad de identificar en tiempo real todos los para´metros relevantes asociados al feno´meno de friccio´n. Esto es particularmente importante cuando esos para´metros cambian con el tiempo haciendo dif´ıcil calibrar de manera cont´ınua el modelo.

Palabras  clave—Modelos  de  friccio´n  dina´mica,  Friccio´n  de Coulomb, Efecto Stribeck, Modelo de friccio´n Lugre

1. INTRODUCCIO´ N

Friccio´n es un feno´meno siempre presente cuando dos cuerpos esta´n  en  contacto,  tal  que  existen  fuerzas  con  componentes tangentes a su regio´n de contacto que se oponen al movimiento relativo de los cuerpos. Tratar con friccio´n, resulta en una tarea importante cuando se trabaja en control de sistemas meca´nicos, puesto que su presencia puede ocasionar errores de seguimien- to, ciclos l´ımite, vibraciones y otros tipos de problemas que afectan directamente el desempen˜o de control de movimiento. Para  compensar  los  efectos  de  friccio´n  de  manera  adecuada, es  importante  disponer  de  modelos  dina´micos  de  friccio´n eficientes1. Un importante paso en esta direccio´n es el modelo de  friccio´n  LuGre  introducido  en  [2].  En  esta  referencia, los  autores  introducen  un  modelo  dina´mico  de  primer  orden junto  con  una  ecuacio´n  de  salida  para  describir  la  fuerza de  friccio´n  en  la  regio´n  de  contacto  entre  dos  cuerpos.  La principal ventaja de e´ste y otros modelos similares de friccio´n dina´mica  en  la  literatura  2  es  su  habilidad  para  reproducir  el comportamiento  de  histe´resis  y  el  llamado  efecto  Stribeck, el cual explica la transicio´n del re´gimen esta´tico a dina´mico.

Investigacio´n  apoyada  con  subsidios  de  CONACYT  47583  y  UNAM- DGAPA-PAPIIT IN117108.

J. C. Mart´ınez-Rosas es estudiante postdoctoral en el Instituto de Ingenier´ıa; Universidad  Nacional  Auto´noma  de  Me´xico;  04510  Coyoaca´n  DF,  Me´xico. jmartinezr@iingen.unam.mx.

L. Alvarez-Icaza es profesor en el Instituto de Ingenier´ıa; Universidad Nacional  Auto´noma  de  Me´xico;  04510  Coyoaca´n  DF,  Me´xico,  autor  corre- sponsal, alvar@pumas.iingen.unam.mx.

D.  Noriega-Pineda  es  profesor  en  la  Universidad  Auto´noma  de  la  Ciudad de Me´xico, daniel.noriega@uacm-iztai.com

1Los lectores interesados en buscar herramientas sobre control y analisis sobre compensacio´n de friccio´n en ma´quinas debera´n referirse a [1].

2Ver, por ejemplo, [3], [4], [5].

Sin embargo, el modelo LuGre u´nicamente puede ser aplicado asumiendo conocimiento total o parcial de sus para´metros. Por consiguiente,  resulta  ser  un  esquema  no  pra´ctico  cuando  las condiciones de contacto y operacio´n varian con el tiempo, tales como temperatura, humedad, polvo, desgaste, etc.

El objetivo de este art´ıculo es probar un nuevo modelo dina´mico de friccio´n, el cual es una extensio´n del presentado en  [2].  La  principal  diferencia  en  la  nueva  formulacio´n,  con respecto a [2], esta en la descripcio´n del efecto Stribeck, el cual ahora es modelado con una ecuacio´n diferencial no-lineal de primer orden. La principal ventaja de la nueva representacio´n, con respecto a otros modelos dina´micos de friccio´n, radica en la  posibilidad  de  identificar  todos  los  para´metros  relevantes. Esto es de particular importancia en aplicaciones de control, donde los para´metros cambian con el tiempo. Un caso t´ıpico es  la  friccio´n  llanta  pavimento,  donde  hay  una  variedad  de factores en el camino, clima y veh´ıculo que inducen cambios en los para´metros del modelo [6], [7].

Han existido intentos por desarrollar esquemas de adaptacio´n  en  l´ınea  para  modelos  dina´micos  de  friccio´n.  En [8], [6], [9], [7] se presentan algunos trabajos donde se intenta adaptar  los  para´metros  del  modelo  LuGre.  Sin  embargo,  el nu´mero  de  para´metros  sujetos  a  adaptacio´n  cambia  en  cada caso. En la mayor parte de ellos, siempre se asume el conocimiento  de  algunos  para´metros.  En  particular,  los  dos para´metros relacionados con la friccio´n esta´tica y friccio´n de Coulomb.

Es  importante  sen˜alar  que  la  mayor´ıa  de  los  modelos  de friccio´n reportados en la literatura cuentan con caracter´ısticas suficientes para describir los diferentes feno´menos friccionales durante el contacto de dos superficies en movimiento. Sin embargo, muy pocos modelos son evaluados mediante pruebas anal´ıticas,  dina´micas  y  esta´ticas,  que  permitan  demostrar  la existencia de las propiedades de un buen modelo de friccio´n. En  e´ste  art´ıculo,  presentamos  un  conjunto  de  pruebas  t´ıpicas [2], [10], que consisten en investigar, analizar y capturar los  diferentes  feno´menos  existentes  en  el  modelo  de  friccio´n propuesto.

El art´ıculo esta´ organizado como sigue. Las Secciones II y III describen la estructura anal´ıtica del nuevo modelo y  presentan  sus  propiedades  ba´sicas  junto  con  la  respuesta pseudo -esta´tica del modelo de friccio´n. En la Seccio´n IV la respuesta dina´mica del modelo es probada mediante diferentes pruebas  t´ıpicas  a  trave´s  de  simulaciones  para  investigar  su habilidad para capturar diferentes feno´menos de friccio´n. En la Seccio´n V se hace un ana´lisis de las propiedades de pasividad del modelo. En la Seccio´n VI se realiza una descomposicio´n parame´trica en la estructura del modelo y finalmente la seccio´n

VII presenta los comentarios concluyentes del trabajo.

1. MODELO DINA´ MICO DE FRICCIO´ N

El nuevo modelo tiene la siguiente estructura para la fuerza de friccio´n (F ) entre dos superficies en contacto

F  = σ0Fcz + σ1z˙ + σ2q˙ + σ0(Fs − Fc)y + αy˙,        (1)

donde Fc > 0 es el para´metro correspondiente a la friccio´n de Coulomb, Fs > 0 es el para´metro de friccio´n esta´tica y σi > 0; i = 0, 1, 2 son constantes que pueden ser interpretadas como para´metros de amortiguamiento y rigidez. En este modelo z  y y  son los estados de friccio´n, z  esta´  relacionado a la friccio´n de Coulomb y y al efecto Stribeck. La dina´mica de z y y esta´n dadas por

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