Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

 Los matemáticos han estado siempre fascinado por el problema de describir todas las soluciones en números enteros x, y, z de las ecuaciones algebraicas, como

 x 2 + y 2 = z 2 

 Euclides dio la solución completa para que la ecuación, pero para ecuaciones más complicadas esto se convierte en extremadamente difícil.  De hecho, en 1970, Yu.  V. Matiyasevich puso de manifiesto que el décimo problema de Hilbert es irresoluble, es decir, no existe un método general para determinar cuándo estas ecuaciones tienen una solución en números enteros.  Sin embargo, en casos especiales se puede esperar para decir algo.  Cuando las soluciones son los puntos de una variedad abeliana, el abedul y conjeturas Swinnerton-Dyer afirma que el tamaño del grupo de puntos racionales es relacionado con el comportamiento de una función zeta ζ asociado (s) cerca del punto s = 1.  En particular, esta conjetura sorprendente afirma que si ζ (1) es igual a 0, entonces hay un número infinito de puntos racionales (soluciones), y por el contrario, si ζ (1) no es igual a 0, entonces sólo hay un número finito número de estos puntos.

Conjetura de Hodge

 En los matemáticos del siglo XX descubierto maneras de gran alcance para investigar las formas de objetos complicados.  La idea básica es preguntar en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado al pegar simples bloques de construcción geométrica de la dimensión cada vez mayor.  Esta técnica resultó ser tan útil que lo tengo generalizada de muchas maneras diferentes, llevando eventualmente a potentes herramientas que permitieron a los matemáticos para hacer grandes progresos en la catalogación de la diversidad de objetos que encontraron en sus investigaciones.  Desafortunadamente, el origen geométrico del procedimiento se oculta en esta generalización.  En cierto sentido, era necesario añadir piezas que no tenía ninguna interpretación geométrica.  La conjetura de Hodge afirma que para los tipos particularmente agradable de los espacios llamados variedades algebraicas proyectivas, las piezas llamadas ciclos de Hodge son en realidad (racional lineal) combinaciones de piezas geométricas llamados ciclos algebraicos.

La ecuación de Navier-Stokes 

 Olas seguir nuestro barco ya que serpentean a través del lago, y las corrientes de aire turbulento seguir nuestro vuelo en un avión moderno.  Los matemáticos y los físicos creen que una explicación y la predicción tanto de la brisa y la turbulencia se puede encontrar a través de la comprensión de las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes.  A pesar de estas ecuaciones están escritas en el siglo 19, nuestra comprensión de los mismos sigue siendo mínima.  El desafío es hacer un progreso sustancial hacia una teoría matemática que descubrir los secretos ocultos en las ecuaciones de Navier-Stokes.

P vs problema NP 

 Supongamos que usted es la organización de alojamiento de vivienda para un grupo de cuatro centenares de estudiantes universitarios.  El espacio es limitado y sólo un centenar de estudiantes recibirán los lugares en el dormitorio.  Para complicar las cosas, el Decano le ha proporcionado una lista de pares de estudiantes incompatibles, y pidió que ningún par de esta lista aparecen en su elección final.  Este es un ejemplo de lo que científicos de la computación llamado una batería NP-problema, ya que es fácil de comprobar si una determinada opción de un centenar de estudiantes propuesta por un compañero de trabajo es satisfactorio (es decir, ningún par tomado de la lista de su compañero de trabajo también aparece en la lista de la oficina del decano), sin embargo, la tarea de generar una lista desde el principio parece ser tan duro como para ser completamente impracticable.  De hecho, el número total de maneras de elegir un centenar de estudiantes de los cuatrocientos solicitantes es mayor que el número de átomos en el universo conocido!  Así, ninguna civilización futuro podría esperar para construir un superordenador capaz de resolver el problema por la fuerza bruta, es decir, marcando todas las combinaciones posibles de 100 estudiantes.  Sin embargo, esta aparente dificultad sólo puede reflejar la falta de ingenio de su programador.  De hecho, uno de los problemas pendientes en la informática es determinar si existen preguntas cuya respuesta puede ser rápidamente controladas, pero que requieren un tiempo increíblemente largo para resolver por cualquier procedimiento directo.  Problemas como la que aparece por encima de cierto parecen ser de este tipo, pero hasta ahora nadie ha conseguido demostrar que alguno de ellos realmente son tan difíciles como parecen, es decir, que realmente no hay forma factible de generar una respuesta con la ayuda de una computadora.  Stephen Cook y Leonid Levin formuló la P (es decir, fácil de encontrar) contra NP (es decir, fácil de comprobar) problema de forma independiente en 1971.

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