Crecimiento Logaritmico

INTRODUCCIÓN

El interés fundamental de la demografía se concentra en el estado y la dinámica de la población en el tiempo. Uno de los objetivo de la demografía está dada precisamente en estudiar los movimientos que se presentan en las poblaciones humanas. Dicho movimiento está en función de los tres componentes que provocan cambios en el estado a lo largo del tiempo: nacimientos, defunciones y migración. Es decir, a medida que las personas nacen, mueren o se mueven, los números totales de habitantes en un área cambian. Es por tal razón que reiteramos que en cierto período de tiempo, el tamaño de una población puede crecer, mantenerse constante o disminuir, dependiendo del efecto que estén ejerciendo estos determinantes o componentes de cambio. HUTCHINSON. (1981)

Objetivos:

Describir los modelos de crecimiento poblacional

MARCO TEORICO

Modelos poblacionales.

Modelos de crecimiento no acotado : Malthus

Suponiendo una población en la cual la tasa de crecimiento es constante, Kt=k, estaríamos ante un sistema en el cual el crecimiento de la población será proporcional al número de individuos. Esto corresponde a poblaciones en las cuales no existen factores externos que alteren el crecimiento de la población. CHAPMAN y.REISS. (1992)

Este modelo que describe el crecimiento exponencial de una población se conoce como modelo de Malthus. Dependiendo de que el parámetro k sea positivo o negativo obtenemos poblaciones cuyo número de individuos crece o decrece, respectivamente, de forma exponencial. CHAPMAN y.REISS. (1992)

Gráfica.1. Modelo de Malthus con parámetro k y población inicial y0

Modelo poblacional acotado

En general, no es razonable suponer un crecimiento de la población como el descrito por el modelo de Malthus. Es más realista introducir algún factor externo que suponga un freno en el crecimiento, por ejemplo, la existencia de depredadores que reduzcan el número de individuos de una población, la limitación de los recursos alimenticios, el confinamiento espacial de la población, etc. DAJOZ (1972).

Modelo logístico o de Verhulst

Este modelo describe bien poblaciones confinadas en un entorno en el cual el alimento disponible está limitado. Modelo matemático más simple para una población (N) que crece hasta un límite superior (K) a partir del cual se estabiliza, fluctuando débilmente. Se alcanza un equilibrio entre la cantidad de individuos de la población y el alimento disponible, la presión de los predadores y parásitos, el espacio disponible, acumulación de desechos, etc. Una vez alcanzado el equilibrio, la curva fluctúa débilmente por arriba y por debajo de la capacidad de carga (K = número máximo de individuos que puede sostener el ambiente). Se trata por lo tanto de un crecimiento con restricciones. HUTCHINSON (1981).

Modelo exponencial.

En el crecimiento exponencial, el ambiente no afecta la tasa de crecimiento, permitiendo un aumento ilimitado (alimento disponible, espacio suficiente, etc.). Los nuevos individuos se van sumando a la producción, a manera de “un interés bancario”. RICKLEFS (1998).

Modelo Gompertz

El modelo fue propuesto por Benjamin Gompertz en 1825 para describir la mortalidad humana en edades adultas y es usado actualmente por muchas compañías de seguros para el cálculo de los costes de los seguros de vida. También describe con bastante buena aproximación el crecimiento de los tumores, que representa un problema de desarrollo de una población en un espacio confinado. DAJOZ (1972).

La idea fundamental de este modelo se basa en que la tasa instantánea de crecimiento de la población disminuye de forma exponencial con el tiempo, o lo que es lo mismo, la mortalidad crece de forma exponencial con la edad.

Análisis del modelo de Gompertz: Si analizamos el modelo de Gompertz podemos ver que hay un crecimiento lento al principio y al final de la curva. Sin embargo, la aproximación a la asíntota inferior (y=0 ) es más rápida que la de la asíntota superior (y=k), en contraste con el comportamiento de la ley logística que es simétrico.

Grafica 2. Modelo de Gompertz

Modelo de von Bertalanffy

Este modelo sirve para describir el tamaño de los individuos de una población de peces en función de su edad. En general, describe bastante bien la evolución de la talla de una población con la edad (a partir de lo cual se puede describir también la evolución de la masa corporal con la edad), de modo que el crecimiento es rápido al principio y posteriormente va disminuyendo dicho crecimiento hasta que cuando t→-∞ es nulo. KÜHNELT (1969)

Estrategias adaptativas de la población.

Existen especies que se reproducen rápidamente, tienen un período de vida corto y tienden a ocupar la totalidad del ambiente disponible en poco tiempo, debido a una alta tasa de crecimiento poblacional. Gran parte de la energía está dirigida a producir descendientes, la mayoría de los cuales no alcanzará la edad reproductiva. El crecimiento de la población es exponencial. En cambio, otras especies tienen pocos descendientes, son de crecimiento lento y destinan la mayor parte de la energía en asegurar que la mayor parte de los individuos alcance la edad reproductiva. El crecimiento de la población está representado por una curva sigmoidea. MARGALEF (1980)

Estrategia “r” (tasa intrínseca de crecimiento).

Define la tasa potencial de crecimiento de una población observada en condiciones determinadas del medio; expresa la tasa según la cual una población podrá crecer mientras no sea impedido por una falta de recursos o por otras circunstancias inhibidoras del crecimiento de la población. KÜHNELT (1969)

La denominada “fase r” en el ciclo vital de una población se caracteriza por un crecimiento subexponencial, por ejemplo, después de un desastre o luego de una ocupación de un hábitat vacante. Las “especies r” designan a aquellas en las que las poblaciones ocupan la mayor parte del tiempo en el crecimiento exponencial, para restablecerse luego de un desastre o de invasiones sucesivas. DAJOZ (1972).

parámetro “K”

Es el límite superior de crecimiento de una población bajo condiciones determinadas (límite de espacio, recursos, presencia de toxinas, etc.). La “fase K” en la vida de una población corresponde al período en el cual no ocurre un crecimiento explosivo, debido al tamaño alcanzado (ocupación del espacio).Las “especies K” son aquellas en las que sus poblaciones viven la mayor parte del tiempo en condiciones de stress a causa de la presencia de los vecinos. MARGALEF (1980)

MATERIALES Y METODOS

Materiales :

Microsoft Excel

Microsoft Word.

Metodología:

Se calculó la población inicial, el incremento y la población final de las tablas de datos sobre las poblaciones ya dadas, para una curva de tipo logístico. Con la formula siguiente:

Se calculó la población inicial, el incremento y la población final de las tablas de datos sobre las poblaciones ya dadas, para una curva de tipo exponencial. Con la formula siguiente:

RESULTADOS

Tabla1. Dinámica de población con modelo logístico y con una tasa de crecimiento (r=033)

r = 0.33 K=30000

Años Población. Inicial Incremento Población. Final

2000 0 2000

1 2000 616 2616

2 2616 788 3404

3 3404 996 4400

4 4400 1239 5639

5 5639 1511 7150

6 7150 1797 8947

7 8947 2072 11019

8 11019 2301 13320

9 13320 2444 15764

10 15764 2469 18232

11 18232 2360 20592

12 20592 2131 22723

13 22723 1819 24542

14 24542 1473 26016

15 26016 1140 27156

16 27156 850 28005

17 28005 614 28620

18 28620 434 29054

19 29054 302 29357

20 29357 208 29564

21 29564 142 29706

22 29706 96 29802

23 29802 65 29867

24 29867 44 29911

25 29911 29 29940

26 29940 20 29960

27 29960 13 29973

28 29973 9 29982

29 29982 6 29988

30 29988 4 29992

31 29992 3 29995

32 29995 2 29996

33 29996 1 29998

34 29998 1 29998

Tabla 2. Dinámica de población con modelo logístico y con una tasa de crecimiento (r=1.95)

r = 1.95 K=30000

Años Pob. Inicial Incremento Población. Final

2000 0 2000

1 2000 3640 5640

2 5640 8930 14570

3 14570 14613 29183

4 29183 1549 30732

5 30732 -1463 29269

6 29269 1390 30659

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