Cresimiento Y Decresimiento.

INTRODUCCION.

En la actualidad los modelos matemáticos son utilizados en muchas ramas como la biología, la química, la física, etc., es por ello que se ha hecho necesario identificar la manera de construir modelos para dar solución a los problemas que se nos presente.

Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista ingles en 1798. En esencia, la idea del modelo maltusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t) de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas hayan en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar como:

dP/dt∝P Esto es, dP/dt=kP (1) .

Donde k es una constante de proporcionalidad.

MARCO TEÓRICO.

La anterior fue la definición matemática para el crecimiento o decrecimiento poblacional donde:

A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo la inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de EE.UU. desde 1790 hasta 1860. Esta E.D. aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante ciertos intervalos.

El problema de valor inicial:

El problema con valores iniciales:

Donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen que ver con crecimiento o decaimiento. En las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeños animales) en cortos periodos de tiempo es proporcional a la población presente en el tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t0, la solución de la ecuación distinguida en azul se puede utilizar para predecir la población en el futuro, es decir, a tiempos t>to. La constante de proporcionalidad k se determina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1>to. En física y química la ecuación se ve en la forma de una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya razón, o velocidad, dx/dt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o que queda al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden.

APLICACIONES.

Crecimiento de bacterias.

Inicialmente un cultivo tiene un numero Po de bacterias. En t=1h se determina que el numero de bacterias es 3/2Po.

...