Criterios De Optimalidad En Diseño De Experimentos

Criterios de optimalidad

Los diseños optímales u óptimos son generados principalmente por computadora ya que en la práctica son complejos y difíciles de construir de manera manual. La teoría de los diseños optímales se derivan del trabajo de Kiefer (1959) Kiefer y Wolfowitz (1959). Por diseño optimal se entiende que un diseño es el “mejor” con respecto a algun criterio. El enfoque usual es especificar un modelo, determinar la región de interes, seleccionar el numero de corridas que deberan realizarse, especificar el criterio de optimalidad a usarse y por ultimo elegir los puntos del diseño de un conjunto de puntos candidatos que el experimentador consideraria usar (Montgomery, 2011).

Callejas Jerónimo (2011) menciona algunos criterios y la idea basica de los criterios de optimalidad en los terminos siguientes:

Kiefer y Wolfowitz (1959) desarrollaron la teoría de optimalidad en el diseño de experimentos e introdujeron los criterios de la D y E para modelos de regresión lineal, sentando las bases para el desarrollo de otros criterios como son el de la A, F y G. Muchos de estos criterios fueron desarrollados para modelos lineales de varianza constante, pero en su mayoría su adaptación ha sido para su utilización en situaciones no lineales y con varianza no constante. La idea básica y principal es la de mejorar las estimaciones de los parámetros de interés seleccionado de forma óptima los niveles de las variables de control.

A continuación se mencionaran y se dara una breve descripción de los criterios de optimalidad en diseños de experimetos optimos. En este trabajo solo se describiran brevemente los criterios de optimalidad (D, A, C, E, G, I, T y V) mas conocidos ya que apartir de la mayoria de estos se hicieron mejoras para resolver problemas unicos o especiales. Comenzaremos con el que quizas sea el de uso mas generalizado, el cual es el criterio de optimalidad D (D-Optimalidad).

Criterio D-Optimalidad

Se dice que un diseño es optimal D si el determinante que esta dado por:

|(X’X)-1|

Se minimiza. Ocurre que un diseño optimal D minimiza el volumen de la región de confianza conjunta para el vector de coeficientes de la regresión (Montgomery, 2011). También existe una medida de la diferencia relativa del diseño 1 respecto a un diseño 2 de acuerdo al criterio D esta dado por

D_e=((|〖(〖X^'〗_2 X_2)〗^(-1) |)/(|〖(〖X^'〗_1 X_1)〗^(-1) |))^(1⁄p)

Donde X1 y X2 son las matrices X de los dos diseños y p es el numero de parámetros del modelo. La cual nos permite identificar cual es el diseño más eficiente con respecto a otro y va comparando de manera iterativa hasta obtener el diseño con el determinante más pequeño, lo cual nos dice que su región de de confianza es más pequeña y por tanto es más segura.

Criterio A-optimalidad

El criterio A-optimalidad se ocupa de las varianzas de los coeficientes de regresión. Un diseño es A-optimal si minimiza la suma de de los elementos de la diagonal principal de (X’X)-1 (a esta se le llama la traza de la traza (X’X)-1, denotada como tr(X’X)-1). Con esto los diseños A-óptimos minimizan la dimensión de la diagonal de la caja que encierra todo el elipsoide de confianza. Por lo tanto, un diseño optimal minimiza las varianzas promedio de los coeficientes de regresión (Montgomery, 2011) (Takeuchi y Hiroto, 2013).

Criterio C-optimalidad

Este criterio fue propuesto por Elfving (1952) y su interes se basa en minimizar la varianza para obtener un mejor estimador lineal insesgado de una combinación lineal predeterminada de los parámetros del modelo, es decir la estimación de una función lineal de los parámetros ctθ con una mínima varianza (Martín, 2006).

El criterio se define por:

Una herramienta para la construcción de c−óptimos la proporciona el Teorema de Elfving mediante un procedimiento grafico. Aunque este método es válido para cualquier dimensión, raramente es usado para modelos con más de dos parámetros, esto es debido a la dificultad de la construcción del llamado conjunto de Elfving.

Criterio E-Optimalidad

Es el criterio del propio valor (eigenvalue) donde Hinkelmann y Kempthorne (2005) los describen de la siguiente manera:

En términos de la correspondiente función ϕ, este criterio de optimalidad puede ser expresado como minimizar.

El significado estadístico de estos criterios de minimización se describen para cada formula mostrada respectivamente (1.) minimiza la varianza generalizada de P’τ^ (representa un conjunto de t - 1 contrastes ortonormales de los efectos del tratamiento), (2.) minimiza la varianza promedio del conjunto P’τ^ y (3.) minimiza la varianza máxima de un solo contraste normalizado.

La matriz P’τ^ está dada por:

Criterio G-optimalidad

El criteior G-optimalidad es el cual busca minimizar el maximo entre la la diagonal de Matriz Sombrero X(X’X)-1X’, esto minimiza la maxima varianza de los valores de prediccion. Montgomery (2011) expone que muchos experimentos de superficie de respuesta se refieren a la predicion de la respuesta, los criterios de la varianza de prediccion son de gran interes practico. Quizas el mas popular de esto criterios sea el criterio de optimalidad G. Un diseño

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