Curso de Algebra

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TÓPICOS DE ARITMÉTICA

1.1 Mínimo común múltiplo

Se define la función mcm(a, b, ..., n) como el mínimo común múltiplo de los números a, b, …, n. En donde mcm se calcula como el producto de todos los divisores primos posibles de a, b, .., n, (si hay factores repetidos se tomará el número máximo presente en cada número a, b, ..., n).

Por ejemplo: el mcm de 4 y 18 es 36, por que: 4 = 2 × 2 y 18 = 2 × 3 × 3. En este caso 36 = (2)2 ×

(3)2, aunque el factor primo 2 esta presente tres veces de acuerdo a la definición solo se toma el número máximo presente en cualquiera de los números 4 ó 18 y en este caso el 2 se repite como máximo dos veces en 4.

Este mismo procedimiento se puede indicar de manera algorítmica de acuerdo al arreglo clásico:

1. 18 2

1. 9 2

[pic 1]

1        9  3  mcm = ( 2 )2( 3 )2  = 18

1. 3

En donde se escriben de derecha a izquierda los números a los que se desea sacar el mcm y después una raya vertical. A la derecha de esta raya se van anotando los diferentes factores que dividen a estos números. Se recomienda hacer el barrido de os posibles factores primos en orden ascendente, es decir 2, 3, 5, 7, 11, etc. Por ejemplo aquí se utilizó primero el 2 hasta que ninguno de los dos aceptó mas esa división y los mismo pasó con el 3, así pues el algoritmo consiste en ir escribiendo hacia abajo los cocientes de estas divisiones hasta que no se pueda obtener un cociente entero al dividir por otro numero que no sea la unidad. Y el mcm se obtiene como el producto de estos factores primos.

d) 3, 7 y 42

e) Compruebe que 25 es el mcm de 5 y 25

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[pic 2][pic 3]Curso Propedéutico Álgebra Julio-Agosto 2003 FIE

M. C. Marco A. Pérez González

Ing. Saida M. Charre Ibarra

1.2 Máximo Común Divisor

Se define la función MCD(a, b, ..., n) como el máximo común divisor de los números a, b, …, n. En donde MCD se calcula como el producto de todos los divisores primos comunes de a ,b, .., n, es decir únicamente se obtendrá el producto de aquellos factores que puedan dividir exactamente a todos los números, por ejemplo, el MCD de 24, 48 y 60 es el 12, ya que no existe ningún otro numero mayor que 12 que divida exactamente al 24, 48 y 60 simultáneamente. Así como se definió un algoritmo para el mcm, también existe uno para el MCD, básicamente es el mismo con la restricción que solo se anotarán del lado derecho los factores que puedan dividir exactamente a todos los números, es decir:

1. 4860 2

12 24302

[pic 4]

6        12  15 3  mcm = ( 2 )2( 3 ) = 12

3        4        5

Claramente se ve que los dos primeros intentos por dividir estos tres números entre 2 son exitosos, en la tercera iteración aunque 6 y 12 son divisibles exactamente por 2, el 15 no lo es por lo tanto se selecciona el siguiente factor primo que en este caso es el 3, como únicamente una vez pueden ser divididos por el 3 (no existe ningún número que simultáneamente pueda dividir con exactitud a los números 3, 4 y 5). Por lo tanto en este punto se finaliza el proceso y el MCD es: MCD = (2)2 (3) = 12.

La importancia que tienen el Mínimo Común múltiplo y el Máximo Común Divisor radica en su empleo para el desarrollo de operaciones con fracciones.

1.3 Operaciones con fracciones

Fracción: Todo cociente de dos números enteros expresados en la forma ba ó ab es llamado fracción, en donde a es llamado el numerador de la fracción y b es el denominador, de manera general b nos dice “en cuantas partes” se ha fraccionado la unidad y a cuantas de estas fracciones se toman en cuenta.

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