Cálculo integral Proyecto final

CÁLCULO INTEGRAL

PROYECTO FINAL

MARIA PAULA VELANDIA MARTIN

UNIVERSIDAD DE CIENCIAS APLICADAS Y AMBIENTALES

FACULTAD DE CIENCIAS

QUÍMICA FARMACÉUTICA

BOGOTÁ D.C

2021

        Durante el semestre se trabajaron diferentes técnicas de integración las cuales están sustentadas por diferentes principios y reglas. El objetivo de este proyecto es realizar la demostración de cada uno de los fundamentos en los cuales se basan las técnicas de integración y solucionar algunos ejercicios por medio de lo aprendido durante en semestre.

Los temas que se tratarán en este proyecto son principalmente las integrales indefinidas las cuales son una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f. Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo. A su vez estas se relacionan con las derivadas y límites en donde la derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño y los límites son la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función.

1. Demostrar el teorema de la regla de la potencia:[pic 1]

[pic 2]

Se demuestra por medio del proceso de derivación, tomando una letra anterior a la de r para hacer la demostración.

[pic 3]

Teniendo en cuenta que r es igual a   se realiza un despeje de q para seguir con la demostración de la regla de la potencia.[pic 4]

    ;    [pic 5][pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Según la demostración anterior, cuando se desee integrar el  se tendrá que es igual al resultado obtenido más una constante de integración, es decir:[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

1. Demostrar el teorema de la función trigonométrica:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

1. Demostrar el teorema de la función trigonométrica:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

1. Demostrar el teorema si la integral definida es lineal:

[pic 26]

Para realizar la demostración de la formula de la integral de una constante por una función se deben derivar ambos miembros de la igualdad

[pic 27]

Se realiza la derivada del producto de una función por un escalar.

[pic 28]

Como la derivada del primer y segundo miembro son iguales queda demostrado que el factor constante se puede sacar fuera del signo de integración.

1. Demostrar el teorema si la integral definida es lineal:

[pic 29]

Para la demostración de este teorema se debe realizar la derivada del primer y segundo miembro de la igualdad.

[pic 30]

Se aplica una regla de la derivada la cual dice que la derivada de a suma o diferencia de dos funciones es igual a la derivada de  más la derivada de , dando como resultado:[pic 31][pic 32]

[pic 33]

Como la derivada del primer y segundo miembro son iguales se puede ver demostrado este teorema.

1. Demostrar el teorema si la integral definida es lineal:

[pic 34]

Para la demostración de este teorema se debe realizar la derivada del primer y segundo miembro de la igualdad.

[pic 35]

Se aplica una regla de la derivada la cual dice que la derivada de a suma o diferencia de dos funciones es igual a la derivada de  más la derivada de , dando como resultado:[pic 36][pic 37]

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