PROYECTO CALCULO INTEGRAL

PROYECTO DE TECNOLOGIA

Presentado a:

UNIVERSIDAD PEAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA

CALCULO INTEGRAL

INGENIERIA INDUSTRIAL

SOGAMOSO

2014

INTRODUCCIÓN

Resaltando la importancia que tienen las ecuaciones diferenciales, para resolver problemas en distintas áreas como la física, geometría, economía, ciencias sociales, etc., En la realización de este proyecto tecnológico nos basaremos en la ecuación diferencial logística, la cual consiste en un modelo introducido por Pierre Verhulst en 1838 que es una especie de generalización de la ecuación de crecimiento poblacional, pero teniendo en cuenta un valor máximo para la población.

OBJETIVO

Analizar, demostrar y resolver cada uno de los enunciados del proyecto de tecnología, utilizando las formas de integración estudiadas en el recorrido del curso cálculo integral, para resolver la ecuación diferencial logística, y encontrar los puntos estacionarios en una ecuación autónoma.

En la ecuación y^'=ay-by^2 tómese el limite cuando t→ ∞ en ambos lados (recuérdese que y es una función del tiempo t) y utilícese el resultado de (2). Entonces despéjese la población limite L.

(2) lim┬(t→∞)⁡〖y^' (t)〗=0 , lim┬(t→∞)⁡y(t)=L

y^'=ay-by^2

lim┬(t→∞)⁡〖y^' 〗=a lim┬(t→∞)⁡y-b lim┬(t→∞)⁡〖y^2 〗

0=aL-bL^2

bL^2=aL

(bL^2)/L=a

L=a/b

y=(ae^at)/(1/c+be^at )

Hallando el valor de c

y(0)=(ae^0)/(1/c+be^0 )

y_0=a/(1/c+b)

1/c+b=a/y_0

1/c=a/y_0 -b

1/c=(a- y_0 b)/y_0

c=y_0/(a- y_0 b)

Aplicando limite en la función y para demostrar que lim┬(t→∞)⁡y(t)=L

y=(ae^at)/((a- y_0 b)/y_0 +be^at )

〖lim┬(y→∞) 〗⁡〖a/(((a- y_0 b)/y_0 +be^at ) e^(-at) )〗

〖lim┬(y→∞) 〗⁡〖a/(((ae^(-at)- y_0 be^(-at))/y_0 +b) )〗

lim┬(y→∞) y=a/b

〖lim〗┬(y→∞) y=L Ahora en y’ sustituimos la equivalencia de L=a/b y demostramos que el límite es 0.

y^'=ay-by^2

lim┬(t→∞)⁡〖y^' 〗=a lim┬(t→∞)⁡y-b lim┬(t→∞)⁡〖y^2 〗

lim┬(t→∞)⁡〖y^' 〗=aL-bL^2

lim┬(t→∞)⁡〖y^' 〗=a a/b-b a^2/b^2

lim┬(t→∞)⁡〖y^' 〗=a^2/b-〖a/b〗^2

〖lim〗┬(t→∞)⁡〖y^' 〗=0

Demuestre que el modelo en (1) y^'=ay-by^2 puede escribirse en la forma y^'=ky(L-y)

Esto demuestra que la tasa de crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la población y y al “espacio” que queda para la población por crecer (esto es la diferencia entre el tamaño de población límite L y el tamaño de la posición real y)

y^'=ay-by^2

dy/dt=ay-by^2

∫▒dy/(ay-by^2 )= ∫▒〖dt 〗

∫▒dy/(y(a-by))= t+c

Por fracciones:

1=A/y+B/(a-by)

1=A(a-by)+By

Si y=0

1=aA

1/a=A

Si y=a/b

1=aB/b

b/a=B

∫▒〖1/ay+(b )/(a(a-by)) dy〗= t+c

1/a ∫▒dy/y+b/a ∫▒dy/(a-by)= t+c

Sustitución:

w=a-by

dw=-b dy

1/a ∫▒dy/y-1/a ∫▒dw/w= t+c

∫▒dy/y-∫▒dw/w=a t+ac

ln⁡〖|y|〗-ln⁡|a-by|=at+ac

ln⁡〖|y/(a-by)|〗=at+ac

e^ln⁡〖|y/(a-by)|〗 = e^at e^ac

y/(a-by)=e^at e^ac

donde e^ac=c

y/(a-by)=e^at c

y=ce^at (a-by)

y+byce^at=ace^at

y(1+bce^at)=ace^at

y=(ace^at)/(1+bce^at )

y=c/c * (ae^at)/(1/c+be^at )

y= (ae^at)/(1/c+be^at )

y^'=ky(L-y)

y= (Le^kLt)/(1/c+e^kLt )

Resuelva y^'=ky(L-y) con la condición inicial y(0)=y_0

y^'=ky(L-y)

dy/dt=ky(L-y)

∫▒dy/(y(L-y))=k ∫▒〖dt 〗

Por fracciones:

1=A/y+B/(L-y)

1=A(L-y)+By

Si y=0

1=AL

1/L=A

Si y=L

1=BL

1/L=B

∫▒〖1/Ly+1/(L(L-y)) dy〗= kt+c

1/L ∫▒dy/y+1/L ∫▒dy/(L-y)=k t+c

Sustitución:

w=L-y

dw=- dy

∫▒dy/y-∫▒dw/w=k t+c

∫▒dy/y-∫▒dw/w=Lk t+Lc

ln⁡〖|y|〗-ln⁡|L-y|=Lkt+Lc

ln⁡〖|y/(L-y)|〗=Lkt+Lc

e^ln⁡〖|y/(L-y)|〗 = e^Lkt e^Lc

y/(L-y)=e^Lkt e^Lc

donde e^Lc=c

y/(L-y)=e^kLt c

y=ce^kLt (L-y)

y+yce^kLt=Lce^kLt

y(1+ce^kLt)=Lce^kLt

y=(Lce^kLt)/(1+ce^kLt )

y=c/c * (Le^kLt)/(1/c+e^kLt )

y= (Le^kLt)/(1/c+e^kLt )

Hallando el valor de c.

y_0=(Le^0)/(1/c+e^0 )

y_0=L/(1/c+1)

1/c+1=L/y_0

1/c=L/y_0 -1

1/c=(L- y_0)/y_0

c=y_0/(L- y_0 )

y= (Le^kLt)/(((L- y_0)/y_0 )+e^kLt )

Haga L=1000,k=0.0005,y_0=200 y haga la gráfica de la solución para la ecuación logística. Manteniéndose constantes a L y k varié el valor de y_0. Haga una gráfica de las soluciones resultantes. Asegúrese de incluir algunos valores de y_0 mayores y menores a L; también trate con y_0=0 y y_0=L. Describa los efectos de y_0 en la solución.

y= (Le^kLt)/(((L- y_0)/y_0 )+e^kLt )

y= (1000e^0.5t)/(((1000- y_0)/y_0 )+e^0.5t )

Cuando y_0=200;

(1000e^0.5t)/(4+e^0.5t )

t(años) Función logística Y_0 =200

0 200

1 291.8751327

2 404.6096752

3 528.3958222

4 648.7856443

5 752.8193114

6 833.9252302

7 892.2281748

8 931.7384594

9 957.4545623

10 973.7555469

Si la población inicial es menor que el limite la población aumenta hasta el límite de población.

Cuando y_0=0;

Reescribiendo la función:

y= (Le^kLt)/(((L- y_0)/y_0 )+e^kLt )

dividiendo en y_0 el numerador

y denominador:

y= ((Le^kLt)/y_0 )/((((L- y_0)/y_0 )+e^kLt)/y_0 )

Obtenemos:

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