DEFINICIÓN DE MATRIZ

INTRODUCCIÓN

Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de

Datos, así como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX

Por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ´ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente

Ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2,..., m, j =1, 2,..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

TIPOS DE MATRICES

1. Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n.

2. Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.

3. Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

4. Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

5. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

6. Matriz anti simétrica: Una matriz cuadrada es anti simétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.

7. Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0

Es una matriz nula de orden 3

8. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

9. Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales

10. Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

11. Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.

Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.

OPERACIONES CON MATRICES

• Transposición de Matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por

At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:

1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

• La Suma y Diferencia de Matrices

La suma de dos matrices A= (aij), B= (bij) de la misma dimensión, es otra matriz S= (sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

Propiedades de la suma de matrices:

1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa

2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa

3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula) Matriz Nula

4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

• Producto de una Matriz por un número

El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k•aij.

Ejemplo:

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k•A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª

2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª

3ª. k [h A] = (k h) A Propiedad asociativa mixta

4ª. 1 • A = A • 1 = A Elemento unidad

• Propiedades Simplificativas

1. Si A + C = B + C Û A = B

2. Si k A = k B Û A = B si k es distinto de 0

3. Si k A = h A Û h = k si A es distinto de 0

• Producto de Matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera

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