DEFINICIÓN DE MATRIZ

I N T R O D U C C I O N

En la vida cotidiana dentro de las diversas actividades humanas, se presenta la necesidad de registrar información de una manera útil y organizada es decir, por medio de tablas ordenadas de datos, de los cuales en ocasiones es necesario llevar a cabo diversos tipos de estudios. O bien la misma necesidad del ser humano de emplear técnicas y métodos matemáticos que den una solución rápida y exacta.

Es ahí donde una de las herramientas que ha tenido gran aplicación son las matrices, las cuales nos dan una solución óptima a un sistema de ecuaciones lineales previamente obtenidas de una tabla de datos ordenados o bien de un planteamiento de un problema.

Es por ello que en el presente trabajo daremos una definición concisa acerca de las matrices para tener un concepto más claro de ellas, así como también nos adentraremos a su clasificación de acuerdo a su forma o estructura como las han definido los estudiosos de la materia. Después nos adentraremos a explicar los diversos tipos de operaciones que con ellas se pueden efectuar (suma, diferencia, producto, etc.) en donde mencionaremos también algunas de sus propiedades.

BREVE RESEÑA HISTÓRICA

Arthur Cayley fue el segundo hijo de un comerciante inglés. Como Gauss, Cayley mostró genio matemático desde muy joven. Asistió al Trinity College, Cambridge, donde pronto aventajó con sus dicípulos. Después de graduarse en Cambridge, Cayley inició una prolífica carrera como escritor, habiendo publicado 25 artículos en tres años. El trabajo que inició con estos artículos rigió su interés matemático durante casi 50 años.

Los escritos y creaciones matemáticas de Cayley implican muchas ramas de las matemáticas, incluyendo la geometría analítica. Sin embargo, se le recuerda más por su trabajo en álgebra lineal. Introdujo la teoría de matrices en un artículo titulado A Memoir on the Theory of Matrices (1858) y creó la teoría de las invariantes.

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz puede definirse como un conjunto arbitrario de números reales dispuestos en forma de una tabla rectangular con m filas y n columnas es llamado matriz de orden mxn; normalmente se usan letras mayúsculas para denotar las matrices: A, B, etc., también escribiendo su elemento genérico para lo cual se usa la misma letra entre paréntesis, (aij), (bkl ), etc., donde los subíndices indican, el primero la fila y el segundo la columna a la cual pertenece, etc.

Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Ahora bien, las notaciones antes mencionadas para una matriz de orden m x n , son equivalentes:

La matiz A (la que tenemos arriba) definida como m x n se puede decir que la definición de una matriz en general puesto que al hablar de matrices válgase la redundancia, nos encontraremos con una amplia gama de clasificaciones o formas que estas adoptan dentro del álgebra lineal, entonces ahora definiremos los tipos de matrices existentes o hasta ahora conocidas.

TIPOS DE MATRICES

Triangular superior

Una matriz se conoce como triangular superior si todos sus elementos por debajo de la diagonal principal son cero.

A=(■(2&1&-1@0&3&4@0&0&5))

Triangular inferior

Una matriz cuadrada se conoce como triangular inferior si todos sus elementos por arriba de la diagonal principal son cero.

A=(■(1&0&0@-2&0&0@4&6&1))

Diagonal

Una matriz cuadrada A=(aij) se conoce como diagonal si todos sus elementos que no están en la diagonal principal son cero. Esto es, aij=0 si i≠j.

A=(■(2&0&0@0&3&0@0&0&5)) B=(■(2&⋯&0@⋮&⋱&⋮@0&⋯&6))

Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

A=(■(2&0&0@0&2&0@0&0&2)) 2A=(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

A=(■(0&0&0@0&0&0@0&0&0))

Matriz fila

Una matiz fila está constituida por una sola fila.

■(A=(2&3&-1))

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna.

(■(-1@2@3))

Identidad

La matriz identidad de n x n es la matriz de n x n en la que las componentes de la diagonal principal son 1 y 0 en todas las demás posiciones.

I_3=(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) I_4=(■(1&0&0&0@0&1&0&0@0&0&1&0@0&0&0&1))

Potencia de una matriz

Sea A una matriz cuadrada, se define:

A^0=I,A^1=A,A^2=A∙A,A^3=A∙A∙A… A^n∙A^m=A^(m+n)…

Periódica

Sea una matriz A de nxn, si para un número entero y positivo p, ocurre que A^(P+1)=A, se dice que A es una matriz de periodo “p”. Ejemplo:

B=(■(-1&-1&-1@0&0&0@0&0&0)) Ya que B^(2+1)=B B es una matriz de periodo 2.

Nulipotente

Si A es una matriz cuadrada y Ak=0 para algún número natural k, se dice que A es nulipotente.

A=(■(0&-8&0@0&0&0@0&5&0)) A^2=(■(0&0&0@0&0&0@0&0&0))

Idempotente

La matriz A se dice idempotente si A2=A.

A=(■(1&0@-1&0))

Involutiva

Una matriz involutiva es una matriz cuadrada tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad

A A=A2=I

A=(■(1&0@0&1)) B=(■(1&1@0&-1))

Transpuesta

Sea A=(aij) una matriz de m x n. entonces la transpuesta de A, escrita At, es la matriz n x m obtenida intercambiando los renglones y columnas de A. Se pude escribir At=(aji)

A=(■(2&3@1&4)) A^t=(■(2&1@3&4)) B=(■(2&3&1@-1&4&6)) B^t=(■(2&-1@3&4@1&6))

Simétrica

Una matriz cuadrada es simétrica si At=A.

A=(■(1&2@2&3)) B=(■(1&-4&2@-4&7&5@2&5&0)) C=(■(-1&2&4&6@2&7&3&5@4&3&8&0@6&5&0&-4))

Antisimétrica

Una matriz cuadrada es antisimétrica si At=-A

A=(■(0&1&-1@-1&0&2@1&-2&0)) B=(■(0&-6@6&0))

Compleja

Es una matriz cuadrada, que contiene en sus elementos, números complejos.

A=(■(1+i&-4+2i@3&6-3i))

Conjugada

Sea A una matriz cuadrada con componentes complejos. Entonces el conjugado de A, denotado A*, se define como (A*)ij=¯(a_ji ).

A=(■(1+i&-4+2i@3&6-3i)) A*=(■(1-i&3@-4-2i&6+3i))

Hermitiana

La matriz compleja A cuadrada se llama hermitiana si A*=A. si A es hermitiana, las componentes diagonales de A son reales.

A=(■(4&3-2i@3+2i&6)) A*=(■(4&3-2i@3+2i&6))

Antihermitiana

Es una matriz cuadrada cuya transpuesta conjugada es menos la matriz A*=-A

A=(■(i&2+i@-2+i&3i))

Ortogonal

Se dice que una matriz es ortogonal si A∙A^T=I, ejemplo:

A=(■(0&1@1&0)) B=(■(a&b@-b&a)) Si a^2+b^2=1

Básicamente de esa manera podemos clasificar a las matrices dentro del ámbito del álgebra lineal.

OPERACIONES CON MATRICES

Ahora bien, ya que hemos presentado los tipos de matrices, nos adentraremos a dar una explicación acerca de las operaciones con matrices en cada una de ellas expondremos un ejemplo.

+Suma de matrices.

Dos matrices de las mismas dimensiones se pueden sumar; la suma de dos matrices de diferente dimensión no. La suma de dos matrices de las mismas dimensiones es una matriz de las misma dimensiones y se obtiene sumando sus elementos correspondientes:

Propiedades :

Asociativa:

(A + B) + C = A + (B + C).

Conmutativa:

A + B = B + A.

Elemento neutro: Existe la matriz 0∈ Rm x n denominada matriz nula y cuyos elementos son todos nulos, tal que

∀A∈ Rm x n  A + 0 = 0 + A = A.

Elemento opuesto: Para cualquier matriz A∈ Rm x n existe la matriz -A∈ Rm x n denominada matriz opuesta y cuyos elementos son los opuestos de los elementos de la matriz A tal que

A + (−1 A) = (−1 A) + A = 0.

Ejemplo. Realice la suma de las matrices:

...