Definición de Fractal

Índice

• Índice ………………………………………………………………… 1
• Introducción………………………………………………………….. 2
• Definición de Fractal …………………………………………………. 3
• Reseña histórica ………………………………………………………. 4
• La geometría euclidiana y la geometría fractal ……………………….  5
• Dimensión fractal ……………………………………………………... 6
• Música fractal...……………………………………………………….. 7
• Triangulo de Pascal y Sierpinski...……………………………………. 8
• Conclusión ……..……………………………………………………. 9
• Fuentes de información .………………………………………………10

Introducción

Los fractales aparecen en la investigación de numerosas ramas de la ciencia. Desde un punto de vista general, si uno se pregunta la razón de ello, la respuesta es su propiedad de auto-semejanza, esto es, la cantidad de estructuras invariantes ante cambios de escala, que aparecen tanto en la Naturaleza como en el análisis de sistemas dinámicos que varían con el tiempo.

Definición de Fractal

[pic 1]Un fractal (del latín “fractus”) es un objeto semi geométrico o figura cuya estructura básica formada por componentes infinitos, fragmentados o irregulares, se repite a diferentes escalas, planas o espaciales. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varían aun cuando se modifique la escala empleada en la observación. 

Este conjunto matemático puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. Esto significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial. Según Mandelbrot, los fractales pueden presentar tres tipos diferentes de autosimilitud:

*Autosimilitud exacta: El fractal resulta idéntico a cualquier escala

*Cuasiautosimilitud: Con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas.

*Autosimilitud estadística: El fractal debe tener medidas numéricas o estadísticas que se conserven con el cambio de escala.

Ejemplos de autosimilitud: Fractales naturales, conjunto de Mandelbrot, paisajes fractales, fractales de pinturas, entre otros.

Otras características como su dimensión de Hausdorff-Besicovitch, que es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Esto quiere decir, que las formas que componen los fractales se autoreproducen en sí mismos y no se "extienden" ocupando nueva superficie.  También puede definirse mediante un simple algoritmo recursivo, por ejemplo, clásicos como la alfombra de Sierpinski, la curva o el copo de nieve de Koch, obras de artistas/ingenieros gráficos como Mario Markus, entre otros. Tiene muchas más aplicaciones.

Reseña histórica

La matemática fractal había sido, hasta los años 70, relegada a los pies de página o a los márgenes. En 1919 Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensión Hausdorff. Al año siguiente Besicovitch, interesado por el trabajo de Hausdorff; creó la teoría geométrica de la medida. En 1963 Edward Lorenz, meteorólogo, intuía el efecto mariposa al redondear unos decimales en su programa de ordenador que simulaba situaciones meteorológicas. Al variar ligeramente el número de decimales después de la coma e introducir los resultados en su ordenador el programa devolvió unos resultados sorprendentemente diferentes a los anteriores. Exageraciones a parte, el caos demuestra que unas ligeras variaciones en las condiciones iniciales pueden originar resultados impredecibles. Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la matemática fractal. Fue herido durante la Primera Guerra Mundial, por lo cual en el hospital se interesó por las iteraciones de funciones complejas y finalmente publicó el artículo “Informe sobre la iteración de las funciones racionales” en la revista francesa Journal de Mathématiques Pures et Apliques. Ello le mereció un galardón por parte de la Academia de Ciencias de Francia. En este artículo se mostraba el conjunto de Julia. Benoît Mandelbrot (1924), en los años 70, se interesó mucho por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinaran el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre ordenadores. Este ingeniero de l’Ecole Politecnique de París y actualmente IBM Fellow en el J.J. Watson Research Center, profesor de matemáticas en la universidad de Harvard había dado el primer gran paso al publicar el libro sobre los fundamentos de la matemática fractal: The Fractal Geometry of Nature (La geometría fractal de la naturaleza 1977, 1982, 1983). El término pronto fue aceptado por la comunidad científica e incluso ya forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE). En 1987, el matemático inglés Michael F. Barnsley descubrió la transformación fractal, capaz de detectar fractales en fotografías digitalizadas. Permitiendo la compresión fractal para imágenes que obtiene resultados aceptables pero muy inferiores a la compresión JPEG o JPEG2000, el verdadero protagonista fue el ordenador. Los fractales quizá no hubieran sido objeto de estudio si no hubieran existido.

La geometría euclidiana y la geometría fractal

La geometría euclidiana ha simplificado las irregularidades. En concreto a linealizado las leyes, ha hecho una aproximación de la ley real y ha regularizado las formas geométricas, es decir, suponer suaves o lisas líneas o superficies que en rigor no lo son.

Recientemente se ha descubierto que la naturaleza es caótica, sus leyes a veces se comportan de una manera determinista y caótica de manera que un ligero aumento de temperatura en un lugar de la Tierra puede tener consecuencias previsibles pero indeterminadas. La naturaleza es irregular. Diferencias fundamentales:

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