Deformaciones

TEOREMAS ENERGÉTICOS

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

La energía de deformación de un elemento estructural se podrá obtener a partir de las expresiones siguientes:

•Energía de deformación por unidad de volumen:

• Energía de deformación:

Se calculará a continuación la Energía de deformación: U, para el caso de elementos estructurales sometidos a una sola solicitación:

A.TRACCIÓN-COMPRESIÓN: N

Componentes del estado de tensiones

y llevando estos valores a las expresiones :

B. FLEXIÓN SIMPLE:

B1.- Momento Flector: Mz (caso particular: Ejes z, y →Ejes principales de inercia: Izy = 0)

Componentes del estado de tensiones:z

llevando estos valores a las expresiones

B2.- Momento Flector: My (caso particular: Ejes z, y→ Ejes principales de inercia: Izy= 0)

Componentes del estado de tensiones:

y por un procedimiento análogo al anterior, llevando estos valores a las expresiones , se llegaría a la siguiente expresión::

B3.- Fuerza Cortante: Vy (caso particular: Ejes z, y→ Ejes principales de inercia: Izy= 0)

•Caso de secciones macizas

Componentes del estado de tensiones:

y llevando estos valores a las expresiones

multiplicando y dividiendo por A:

siendo:

Observaciones

•Caso de secciones abiertas de pequeño espesor

Componentes del estado de tensiones

y por un procedimiento análogo al anterior:

siendo

Observaciones

B4.- Fuerza Cortante: Vz (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de inercia: I zy

•Caso de secciones macizas:

Componente de estado de tensiones

por un procedimiento similar al caso de Vy:

siendo:

observaciones:

•Caso de secciones abiertas de pequeño espesor

Componentes del estado de tensiones

:

Siendo

y por un procedimiento análogo al anterior:

.siendo:

C. TORSIÓN: T

•Caso de secciones macizas circulares

Componentes de estado de tensiones:

•Caso de secciones macizas no circulares o secciones de pequeño espesor:

Haciendo la sustitución: I0→It “ momento de inercia torsor equivalente”

D. CASO GENERAL: TRACCIÓN-COMPRESIÓN (N) + FLEXIÓN (Mz, My, Vy, Vz) + TORSIÓN (T):

Aplicando el Principio de Superposición, la energía de deformación total será la suma de las energías de deformación obtenidas para cada una de las solicitaciones actuando por separado, así será:

y sustituyendo los valores obtenidos para cada uno de dichos términos:

Observaciones:

Todos los términos de la expresión no tienen el mismo orden de magnitud. Así por ejemplo generalmente:

con lo cual, en la mayoría de los casos, se suelen despreciar los términos debidos a las fuerzas cortantes:

Igualmente, en la mayoría de los casos, se cumple que:

salvo en los casos de Tracción-Compresión con pequeña excentricidad .

TEOREMA DE CASTIGLIANO

Sea un cuerpo elástico, apoyado de tal forma que le sea imposible moverse y sobre él se aplican gradualmente las fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn.

Se supone que se cumplen las condiciones vistas, por las que se podrá considerar que el trabajo que realizan las fuerzas externas se transforma todo en energía de deformación (campos conservativos).

Los desplazamientos que sufren los puntos de aplicación de dichas fuerzas: ∆i ( i→i2 ), se descomponen en dos componentes, los desplazamientos δi (i→i1) que van en la misma dirección que los vectores fuerza Fi, y los desplazamientos (i1→i2) en direcciones perpendiculares a las anteriores. Esta descomposición se hace así para que en el cálculo del trabajo que realizan las fuerzas exteriores tan sólo haya que tener en cuenta las componentes δi, que van en la misma dirección que las fuerzas aplicadas, pues las otras componentes, al ser perpendiculares a las direcciones de las fuerzas aplicadas, no realizan trabajo.

9

La energía de deformación del cuerpo será función de las fuerzas aplicadas sobre él:

Si se diera un incremento infinitesimal a una cualquiera de las fuerzas aplicadas, por ejemplo la Fi, la energía de deformación sería:

Si se considerase ahora un segundo estado de cargas, en el que se invierta el orden de aplicación de las fuerzas externas, así, se aplica en primer lugar dFi y a continuación las restantes fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn. La energía de deformación sería ahora:

En efecto:

•al aplicar primero dFi, se realizará un trabajo de valor:

•al aplicar a continuación el resto de las fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn, se realizará un trabajo: U+dFi.δi en donde el término: dFi.δi es el trabajo indirecto que realiza dFi, que ya estaba aplicado, al aplicar ahora el resto de las fuerzas y desplazarse su punto de aplicación δi.

Y como según se sabe, en el caso de campos conservativos: “el trabajo que realizan las fuerzas externas es igual a la energía de deformación y su valor depende solamente de los valores iniciales y finales de dichas fuerzas y no de su orden de aplicación”. Como consecuencia de ello serán iguales los dos valores obtenidos de la energía de deformación para los dos estados de cargas considerados. Así pues se verificará:

y despreciando

...