Deformación de vigas

Deformación de vigas

Las deformaciones en una viga se encuentran analizando la curvatura de la viga y las deformaciones asociadas. La simetría de la viga y su carga significa que todos los elementos de la viga deben deformarse de manera idéntica, lo que es posible solo si las secciones transversales de la viga permanecen planas durante la flexión.

Esta conclusión es válida para vigas de cualquier tipo de material aunque sus propiedades si deben ser simétricas respecto al plano de flexión.

Cuando la parte inferior de la viga esta en tensión y la superior en compresión o viceversa, en alguna región entre la viga existe una superficie en la que las líneas longitudinales no cambian de longitud, se le llama superficie neutra de la viga y su intersección con cualquier plano transversal es llamado eje neutro.

Las deformaciones unitarias en una viga en flexión pura varían linealmente con la distancia desde la superficie neutra, sin importar la forma de la curva esfuerzo-deformación unitaria del material.

Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga van acompañadas por deformaciones unitarias transversales debido a los efectos de la razón de Poisson, sin embargo, no se tienen esfuerzos transversales acompañantes por que las vigas tienen libertad para deformarse en sentido lateral.

Método del área de momento

Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión en las vigas es el Método del Área de Momentos, en el que intervienen el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza, en primer lugar, por lo dos teoremas básicos de este método; luego, una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados, más que para hallar la ecuación general de la elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geométricas en la elástica, no se pierde el significado físico de lo que se está calculando.

El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la sección cualquiera. La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como intersección de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los centroides de las secciones, se representa en la figura 1-b, aun que sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el representado en la figura 1-c.

Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos secciones planas adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la otra. Se puede ver con más detalle en la parte C D ampliada en la figura 1-b. el arco ds medido a lo largo de la elástica entre las dos secciones es igual ρ dθ, siendo ρ el radio de curvatura de la elástica en ese punto. Se tiene la ecuación:

Y como ds = ρ dθ, ahora escribimos:

O bien:

Figura 1. Teoremas del área de momentos

En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones, se tiene: (b).

Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1-b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos pequeños ángulos: (c)

Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y ángulo dθ:

dt = x dθ

De donde:

Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d)

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