Demostraciones Falsas

Demostraciones inválidas

1) 1 = −1

2) 1 < 0

3) 2 = 1

4) Otra demostración de que 2 = 1

5) 4 = 2

6) a = b

7) 0 = 1

Demostración de que 1 equivale a −1

Comenzamos con

Ahora, los convertimos en fracciones

Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos

Que equivale a

Pero ya que (ver número imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo

Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos

Y ya que i2 = − 1 tenemos como resultado

Q.E.D.

Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente principio de las raíces cuadradas:

Este principio sólo es correcto cuando tanto x/ y es un número positivo. En la "demostración" anterior, -1/1 es un número negativo, lo que invalida toda la demostración.

Demostración de que 1 es menor que 0

Supongamos que x < 1

Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Si tenemos en cuenta que cualquier número elevado a cero es 1, xº=1, el logaritmo de 1 es 0, por tanto

lnx < 0

Dividir por ln x da como resultado

1 < 0 Q.E.D.

El error se encuentra en el último paso, la división, ya que por definición x<1, por tanto lnx es un número negativo. Como sabemos en las desigualdades una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de la desigualdad, y no hemos invertido el símbolo, si lo hacemos obtenemos 1 > 0, lo que es correcto.

Demostración de que 2 equivale a 1

Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:

1) a = b - elevamos al cuadrado, pero como a=b

2) a² = ab restamos b² de cada lado

3) a² - b² = ab - b² aplicamos igualdad notable y factor común

4) (a - b)(a + b) = b(a - b) cancelamos términos iguales

5) a + b = b pero como a=b a+b=2b

6) 2b = b

7) 2 = 1 Q.E.D.

La falacia se encuentra en el paso de la línea 4 a la 5 implica una división por a-b, que es cero lo cual no es válido.

Otra falacia es que también se demostraría que a = 0, pues si: a + b = b => a = b - b => a = 0

Otra demostración de que 2 equivale a 1

Para x ≠ 0, x = 1 + 1 + ... + 1 (x términos)

Multiplicando ambos lados por x,

x2 = x + x + ... + x (x términos)

Derivando con respecto a x,

2x = 1 + 1 + ... + 1 (x términos)

Ahora bien, volviendo a la primera línea, se ve que el lado derecho de esa igualdad es x, y por lo tanto,

2x = x

Dividiendo ambos lados por x (lo cual es posible, pues x ≠ 0), se

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